Номер 1, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число k, отличное от нуля?

1. Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на отличное от нуля число $k$ (также называемое скаляром) является новый вектор, который обозначается как $k\vec{a}$ или $\vec{a}k$. Этот новый вектор определяется его длиной (модулем) и направлением по следующим правилам:

• Длина (модуль) нового вектора равна произведению длины (модуля) исходного вектора $\vec{a}$ на абсолютное значение (модуль) числа $k$. Это можно записать в виде формулы:
  $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$
  Это означает, что если, например, $k=2$, то длина вектора удваивается. Если $k=-0.5$, то длина вектора уменьшается вдвое.
• Направление нового вектора зависит от знака числа $k$:
  • Если $k > 0$ (положительное число), то вектор $k\vec{a}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{a}$. Говорят, что векторы $k\vec{a}$ и $\vec{a}$ сонаправлены.
  • Если $k < 0$ (отрицательное число), то вектор $k\vec{a}$ имеет направление, прямо противоположное направлению вектора $\vec{a}$. Говорят, что векторы $k\vec{a}$ и $\vec{a}$ противоположно направлены.

Таким образом, умножение вектора на число изменяет его длину (растягивает или сжимает) и, если число отрицательное, меняет его направление на 180 градусов.

Ответ: Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на отличное от нуля число $k$ является вектор, длина которого равна $|k| \cdot |\vec{a}|$, и который сонаправлен вектору $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно направлен ему при $k < 0$.