Номер 519, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

519. На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены параллелограммы $AA_1B_1B$, $BB_2C_1C$, $CC_2A_2A$. Прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ попарно непараллельны. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$.

Для доказательства существования треугольника со сторонами, равными отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, достаточно показать, что векторы, соответствующие этим отрезкам, образуют замкнутую ломаную, то есть их сумма (с определённой ориентацией) равна нулевому вектору. Воспользуемся методом векторов.

Пусть $O$ — произвольная точка в пространстве (начало координат). Обозначим радиус-векторы точек $A, B, C, A_1, B_1, \dots, C_2$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{a_1}, \vec{b_1}, \dots, \vec{c_2}$ соответственно. Вектор, соответствующий отрезку $XY$, будет равен $\vec{XY} = \vec{y} - \vec{x}$.

Рассмотрим условия, заданные параллелограммами. Четырехугольник $PQRS$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда сумма радиус-векторов его противоположных вершин равна, то есть $\vec{p} + \vec{r} = \vec{q} + \vec{s}$. Применим это свойство к данным параллелограммам, предполагая, что вершины перечислены в порядке обхода.

1. Для параллелограмма $AA_1B_1B$ противоположными вершинами являются $A, B_1$ и $A_1, B$. Следовательно, выполняется равенство:
$\vec{a} + \vec{b_1} = \vec{a_1} + \vec{b}$ (1)

2. Для параллелограмма $BB_2C_1C$ противоположными вершинами являются $B, C_1$ и $B_2, C$. Следовательно:
$\vec{b} + \vec{c_1} = \vec{b_2} + \vec{c}$ (2)

3. Для параллелограмма $CC_2A_2A$ противоположными вершинами являются $C, A_2$ и $C_2, A$. Следовательно:
$\vec{c} + \vec{a_2} = \vec{c_2} + \vec{a}$ (3)

Сложим левые и правые части этих трех векторных равенств:

$(\vec{a} + \vec{b_1}) + (\vec{b} + \vec{c_1}) + (\vec{c} + \vec{a_2}) = (\vec{a_1} + \vec{b}) + (\vec{b_2} + \vec{c}) + (\vec{c_2} + \vec{a})$

Сгруппируем слагаемые:

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a_2} + \vec{b_1} + \vec{c_1}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a_1} + \vec{b_2} + \vec{c_2})$

Вычитая из обеих частей вектор $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$, получаем:

$\vec{a_2} + \vec{b_1} + \vec{c_1} = \vec{a_1} + \vec{b_2} + \vec{c_2}$

Перенесем векторы с одинаковыми буквенными индексами в одну часть равенства:

$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\vec{b_2} - \vec{b_1}) + (\vec{c_2} - \vec{c_1})$

Это равенство можно записать в терминах векторов, соответствующих нужным нам отрезкам:

$\vec{A_1A_2} = \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2}$

Полученное векторное равенство означает, что вектор $\vec{A_1A_2}$ является суммой векторов $\vec{B_1B_2}$ и $\vec{C_1C_2}$. Это является условием того, что три вектора могут образовать треугольник. В частности, если мы рассмотрим векторы $\vec{A_1A_2}$, $-\vec{B_1B_2} = \vec{B_2B_1}$ и $-\vec{C_1C_2} = \vec{C_2C_1}$, то их сумма будет равна нулевому вектору:

$\vec{A_1A_2} - \vec{B_1B_2} - \vec{C_1C_2} = \vec{0} \implies \vec{A_1A_2} + \vec{B_2B_1} + \vec{C_2C_1} = \vec{0}$

Это означает, что если отложить эти три вектора последовательно друг за другом, начало первого вектора совпадет с концом последнего, образуя замкнутую ломаную — треугольник. Стороны этого треугольника будут равны длинам (модулям) этих векторов: $|\vec{A_1A_2}| = A_1A_2$, $|\vec{B_2B_1}| = B_1B_2$ и $|\vec{C_2C_1}| = C_1C_2$.

Поскольку по условию прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ попарно непараллельны, соответствующие им векторы не коллинеарны, а значит, треугольник невырожденный.

Таким образом, существование треугольника, стороны которого равны отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, доказано.

Ответ: Доказательство приведено выше. Существование такого треугольника следует из того, что сумма векторов, построенных на двух из этих отрезков (с определенной ориентацией), равна вектору, построенному на третьем отрезке.