Номер 512, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

512. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что $ \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0} $. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

По условию задачи, для векторов, исходящих из точки пересечения диагоналей O к вершинам четырехугольника ABCD, выполняется равенство:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые в этом равенстве:

$(\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD}) = \vec{0}$

Рассмотрим сумму векторов $\vec{OA} + \vec{OC}$. Точки A, O и C лежат на одной прямой (диагонали AC). Это означает, что векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ коллинеарны. Их сумма, вектор $\vec{u} = \vec{OA} + \vec{OC}$, также будет лежать на прямой AC.

Аналогично, рассмотрим сумму векторов $\vec{OB} + \vec{OD}$. Точки B, O и D лежат на одной прямой (диагонали BD). Векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ коллинеарны, и их сумма, вектор $\vec{v} = \vec{OB} + \vec{OD}$, будет лежать на прямой BD.

Таким образом, исходное равенство можно записать как $\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$, откуда следует, что $\vec{u} = -\vec{v}$.

Вектор $\vec{u}$ лежит на прямой AC, а вектор $\vec{v}$ — на прямой BD. Так как диагонали четырехугольника AC и BD пересекаются (а не совпадают), то равенство $\vec{u} = -\vec{v}$ возможно только в том случае, если оба вектора являются нулевыми:

$\vec{u} = \vec{0}$ и $\vec{v} = \vec{0}$

Рассмотрим каждое из этих равенств:

1) $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$, что равносильно $\vec{OA} = -\vec{OC}$. Это равенство векторов означает, что они имеют одинаковые длины (модули), то есть $|\vec{OA}| = |\vec{OC}|$, и направлены в противоположные стороны. Поскольку они исходят из одной точки O и лежат на одной прямой, точка O является серединой отрезка AC.

2) $\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$, что равносильно $\vec{OB} = -\vec{OD}$. Аналогично, это означает, что $|\vec{OB}| = |\vec{OD}|$, и векторы противоположно направлены. Следовательно, точка O является серединой отрезка BD.

Мы получили, что диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, которая является серединой каждой из них. По признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.