Номер 508, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

508. Докажите, что для неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|.$

Данное неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$ известно как неравенство треугольника. Его можно доказать несколькими способами.

Способ 1: Геометрический

Рассмотрим треугольник, построенный на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Отложим от произвольной точки O векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Вектор, соединяющий их концы, будет $\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Длины сторон треугольника OAB равны модулям соответствующих векторов: $OA = |\vec{a}|$, $OB = |\vec{b}|$ и $BA = |\vec{a} - \vec{b}|$.

По условию задачи векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Это означает, что точки O, A и B не лежат на одной прямой и, следовательно, образуют невырожденный треугольник.

Для любого невырожденного треугольника справедливо неравенство, что длина любой его стороны строго меньше суммы длин двух других сторон. Применив это правило к стороне BA треугольника OAB, получим: $BA < OA + OB$.

Подставив в это соотношение выражения через векторы, получим исходное неравенство: $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$, что и требовалось доказать.

Способ 2: Алгебраический

Докажем неравенство, используя свойства скалярного произведения. Поскольку обе части неравенства $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$ являются неотрицательными величинами, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства не изменится: $|\vec{a} - \vec{b}|^2 < (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$.

Преобразуем левую часть, используя свойство скалярного квадрата вектора ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$): $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Правую часть раскроем по формуле квадрата суммы: $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Подставим полученные выражения обратно в неравенство: $|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 < |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Упростим, вычтя из обеих частей $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$: $-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) < 2|\vec{a}||\vec{b}|$.

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный: $\vec{a} \cdot \vec{b} > -|\vec{a}||\vec{b}|$.

Используем определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta > -|\vec{a}||\vec{b}|$.

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, они являются ненулевыми, а значит их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — строго положительные числа. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное произведение $|\vec{a}||\vec{b}|$: $\cos\theta > -1$.

Это неравенство является верным для любого угла $\theta$, за исключением случая $\theta = \pi$ (180°), при котором $\cos\theta = -1$. Угол $\theta = \pi$ соответствует коллинеарным и противоположно направленным векторам. Поскольку по условию задачи векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то $\theta \neq \pi$, и, следовательно, неравенство $\cos\theta > -1$ выполняется.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также доказано.

Ответ: Неравенство доказано.