Номер 505, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

505. Четырёхугольник ABCD – параллелограмм. Докажите, что:

1) $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB};$

2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} = \vec{0}.$

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, для него выполняются следующие векторные равенства, основанные на свойствах параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны):
1. $\vec{AD} = \vec{BC}$ (и, следовательно, $\vec{DA} = \vec{CB}$)
2. $\vec{AB} = \vec{DC}$ (и, следовательно, $\vec{BA} = \vec{CD}$)

Для доказательства будем использовать эти свойства, а также правила сложения и вычитания векторов.

Необходимо доказать, что $\vec{AD} - \vec{BA} + \vec{DB} - \vec{DC} = \vec{AB}$.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем векторы для удобства вычислений:

$\vec{AD} - \vec{BA} + (\vec{DB} - \vec{DC})$

По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало (точка D), разность $\vec{DB} - \vec{DC}$ равна вектору $\vec{CB}$.

Выражение принимает вид:

$\vec{AD} - \vec{BA} + \vec{CB}$

Из свойств параллелограмма $ABCD$ мы знаем, что $\vec{CB} = \vec{DA}$. Заменим $\vec{CB}$ на $\vec{DA}$:

$\vec{AD} - \vec{BA} + \vec{DA}$

Перегруппируем слагаемые:

$(\vec{AD} + \vec{DA}) - \vec{BA}$

Сумма противоположных векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$ равна нулевому вектору: $\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{AA} = \vec{0}$.

Таким образом, получаем:

$\vec{0} - \vec{BA} = -\vec{BA}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{BA}$, есть вектор $\vec{AB}$, то есть $-\vec{BA} = \vec{AB}$.

В итоге мы получили, что левая часть равенства равна $\vec{AB}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{AD} - \vec{BA} + \vec{DB} - \vec{DC} = \vec{AB}$ доказано.

Необходимо доказать, что $\vec{AB} + \vec{CA} - \vec{DA} = \vec{0}$.

Преобразуем левую часть равенства. Заменим вычитание вектора $\vec{DA}$ на сложение противоположного ему вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{AD}$

Используя переместительное свойство сложения, поменяем слагаемые местами:

$\vec{CA} + \vec{AD} + \vec{AB}$

По правилу сложения векторов (правилу многоугольника или правилу Шаля), сумма $\vec{CA} + \vec{AD}$ равна вектору $\vec{CD}$.

Выражение принимает вид:

$\vec{CD} + \vec{AB}$

Из свойств параллелограмма $ABCD$ известно, что векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ равны ($\vec{BA} = \vec{CD}$), так как они сонаправлены и их длины равны.

Заменим $\vec{CD}$ на $\vec{BA}$:

$\vec{BA} + \vec{AB}$

Сумма противоположных векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AB}$ равна нулевому вектору: $\vec{BA} + \vec{AB} = \vec{BB} = \vec{0}$.

Таким образом, левая часть исходного равенства равна $\vec{0}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{AB} + \vec{CA} - \vec{DA} = \vec{0}$ доказано.