Номер 499, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

499. Докажите, что для любых точек A, B, C, D, E выполняется равенство

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EA} = \vec{0}.$

Рис. 121

Для доказательства данного равенства воспользуемся правилом сложения векторов, известным как правило многоугольника (или правило замыкания). Это правило является обобщением правила треугольника для сложения векторов.

Согласно правилу треугольника, для любых трех точек $A$, $B$ и $C$ справедливо равенство: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA}$

Будем последовательно применять правило сложения векторов, группируя слагаемые:

1. Сначала сложим первые два вектора: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Подставив результат в исходное выражение, получим: $(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA}$

2. Теперь сложим полученный вектор $\vec{AC}$ со следующим вектором $\vec{CD}$: $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Выражение примет вид: $(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{AD} + \vec{DE} + \vec{EA}$

3. Далее, сложим вектор $\vec{AD}$ со следующим вектором $\vec{DE}$: $\vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AE}$

Выражение примет вид: $(\vec{AD} + \vec{DE}) + \vec{EA} = \vec{AE} + \vec{EA}$

4. На последнем шаге нам нужно сложить вектор $\vec{AE}$ и вектор $\vec{EA}$. Эти векторы коллинеарны, равны по модулю, но противоположно направлены. Это означает, что $\vec{EA} = -\vec{AE}$. Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AE} + \vec{EA} = \vec{AE} + (-\vec{AE}) = \vec{0}$

Другой способ это показать — снова применить правило сложения. Суммой векторов $\vec{AE}$ и $\vec{EA}$ является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (точка $A$), а конец — с концом второго вектора (также точка $A$). Этот вектор обозначается как $\vec{AA}$ и является нулевым вектором. $\vec{AE} + \vec{EA} = \vec{AA} = \vec{0}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{0}$. Равенство выполняется для любых точек $A, B, C, D, E$, так как оно представляет собой векторную сумму по замкнутому контуру.

Ответ: Равенство доказано.