Номер 506, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

506. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Докажите, что:

1) $ \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0} $;

2) $ \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA} = \vec{0} $.

1)

Рассмотрим сумму векторов $\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA}$. Воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов (правило Шаля) для первых двух слагаемых. Согласно этому правилу, сумма векторов, отложенных последовательно друг от друга, равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго вектора. Таким образом:

$\vec{MB} + \vec{BC} = \vec{MC}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\vec{MB} + \vec{BC}) + \vec{MA} = \vec{MC} + \vec{MA}$

По условию задачи, $BM$ — медиана треугольника $ABC$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AC$. Векторы, проведенные из середины отрезка к его концам, равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0}$.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Рассмотрим сумму векторов $\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA}$. Перегруппируем слагаемые, чтобы удобно применить правило треугольника:

$(\vec{MA} + \vec{AC}) + (\vec{MB} + \vec{BA})$

Применим правило треугольника к каждой паре векторов в скобках:

$\vec{MA} + \vec{AC} = \vec{MC}$

$\vec{MB} + \vec{BA} = \vec{MA}$

Подставим эти результаты в сгруппированное выражение:

$\vec{MC} + \vec{MA}$

Как было установлено в пункте 1, поскольку $M$ — середина стороны $AC$, сумма векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MC}$ равна нулевому вектору:

$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}$

Следовательно, исходное выражение также равно нулевому вектору: $\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA} = \vec{0}$.

Ответ: Равенство доказано.