Номер 513, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

513. Векторы $\vec{MN}$, $\vec{PQ}$ и $\vec{EF}$ попарно неколлинеарны, причём $\vec{MN} + \vec{PQ} + \vec{EF} = \vec{0}$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам MN, PQ и EF.

По условию задачи даны три попарно неколлинеарных вектора $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{EF}$, для которых выполняется равенство:$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{EF} = \vec{0}$.

Чтобы доказать, что существует треугольник со сторонами, равными длинам этих векторов (то есть отрезкам $MN$, $PQ$ и $EF$), воспользуемся правилом сложения векторов для построения замкнутой векторной фигуры.

Выберем на плоскости произвольную точку $A$ и отложим от нее последовательно векторы, равные данным:1. От точки $A$ отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN}$.2. От точки $B$ отложим вектор $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{PQ}$.

Теперь рассмотрим сумму этих векторов. По правилу треугольника, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.Таким образом, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ}$.

Из данного в условии равенства $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{EF} = \vec{0}$ можно выразить сумму первых двух векторов:$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} = -\overrightarrow{EF}$.

Сравнивая два полученных выражения для суммы $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ}$, получаем:$\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{EF}$.Это означает, что вектор $\overrightarrow{CA}$ (который противоположен вектору $\overrightarrow{AC}$) равен вектору $\overrightarrow{EF}$:$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -(-\overrightarrow{EF}) = \overrightarrow{EF}$.

Таким образом, построив векторы $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{PQ}$, мы обнаружили, что вектор, замыкающий треугольник $ABC$, а именно $\overrightarrow{CA}$, равен третьему данному вектору $\overrightarrow{EF}$.

Рассмотрим длины сторон полученного треугольника $ABC$:

• Длина стороны $AB$ равна модулю вектора $\overrightarrow{AB}$: $|AB| = |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{MN}|$.
• Длина стороны $BC$ равна модулю вектора $\overrightarrow{BC}$: $|BC| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{PQ}|$.
• Длина стороны $CA$ равна модулю вектора $\overrightarrow{CA}$: $|CA| = |\overrightarrow{CA}| = |\overrightarrow{EF}|$.

Данный треугольник $ABC$ является невырожденным (то есть его вершины $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой). Это следует из того, что векторы $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{PQ}$ по условию неколлинеарны.

Следовательно, мы доказали существование треугольника, стороны которого равны отрезкам $MN$, $PQ$ и $EF$.

Ответ: Существование треугольника доказано.