Номер 514, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

514. Докажите, что для параллелограмма $ABCD$ и произвольной точки $X$ выполняется равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$.

Для доказательства данного равенства выполним преобразования. Перенесем векторы в уравнении $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ таким образом, чтобы сгруппировать их по парам:

$\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{XD} - \vec{XC}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов. Для любых трех точек $O, P, Q$ справедливо равенство $\vec{OP} - \vec{OQ} = \vec{QP}$. Применим это правило к обеим частям нашего уравнения.

Для левой части равенства, где общим началом является точка $X$:

$\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{BA}$

Для правой части равенства, где также общим началом является точка $X$:

$\vec{XD} - \vec{XC} = \vec{CD}$

Таким образом, исходное векторное равенство эквивалентно следующему равенству:

$\vec{BA} = \vec{CD}$

Теперь докажем, что равенство $\vec{BA} = \vec{CD}$ является верным для любого параллелограмма $ABCD$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Это означает, что векторы, лежащие на этих сторонах, либо равны (если они сонаправлены), либо противоположны. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, идущие от первой вершины ко второй, сонаправлены. Следовательно, они равны:

$\vec{AB} = \vec{DC}$

Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Аналогично, вектор $\vec{CD}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{DC}$.

Подставим эти соотношения в доказанное равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$:

$(-\vec{BA}) = (-\vec{CD})$

Умножая обе части этого равенства на $-1$, получаем:

$\vec{BA} = \vec{CD}$

Мы показали, что равенство $\vec{BA} = \vec{CD}$ справедливо для параллелограмма $ABCD$. Поскольку это равенство было получено путем эквивалентных преобразований из исходного, то и исходное равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ также является верным. Это справедливо для любой точки $X$, так как ее положение сократилось в ходе преобразований.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.