Номер 520, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

520. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $CDMK$ так, что угол $C$ у них общий, а точки $D$, $M$ и $K$ принадлежат соответственно сторонам $AC$, $AB$ и $BC$ треугольника. Найдите стороны параллелограмма $CDMK$, если его периметр равен $20\text{ см}$, $AC = 12\text{ см}$, $BC = 9\text{ см}$.

Пусть стороны параллелограмма $CDMK$ равны $CD = MK = x$ и $CK = DM = y$.

Периметр параллелограмма $P_{CDMK}$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны. В нашем случае, $P_{CDMK} = 2(CD + CK)$.

По условию, периметр равен 20 см. Составим первое уравнение:

$2(x + y) = 20$

$x + y = 10$

Так как $CDMK$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $MK$ параллельна стороне $CD$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника, то $MK \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MBK$ и $\triangle ABC$.

Угол $\angle B$ у них общий.

Углы $\angle BKM$ и $\angle BCA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $BC$.

Следовательно, треугольник $\triangle MBK$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам ($\triangle MBK \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{MK}{AC} = \frac{BK}{BC}$

Нам известны длины сторон треугольника $AC = 12$ см и $BC = 9$ см. Сторона параллелограмма $MK = x$. Длина отрезка $BK$ может быть выражена через сторону $BC$ и сторону параллелограмма $CK$: $BK = BC - CK = 9 - y$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{x}{12} = \frac{9 - y}{9}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 10 \\ \frac{x}{12} = \frac{9-y}{9} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 10 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{x}{12} = \frac{9 - (10 - x)}{9}$

$\frac{x}{12} = \frac{9 - 10 + x}{9}$

$\frac{x}{12} = \frac{x - 1}{9}$

Используя основное свойство пропорции, получим:

$9x = 12(x - 1)$

$9x = 12x - 12$

$12x - 9x = 12$

$3x = 12$

$x = 4$

Теперь найдем $y$:

$y = 10 - x = 10 - 4 = 6$

Таким образом, стороны параллелограмма равны $CD = MK = 4$ см и $CK = DM = 6$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см.