Номер 518, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

518. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$.

Пусть $A, B, C$ — вершины треугольника, а $M$ — точка пересечения его медиан (центроид). Выберем произвольную точку $O$ в качестве начала отсчета (начала координат). Тогда положение любой точки $X$ можно задать ее радиус-вектором $\vec{OX}$.

Положение точки $M$, которая является центроидом треугольника $ABC$, определяется как среднее арифметическое радиус-векторов его вершин:$$ \vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $$Это фундаментальное свойство центроида.

Теперь выразим векторы $\vec{MA}$, $\vec{MB}$ и $\vec{MC}$ через радиус-векторы. По определению разности векторов:$$ \vec{MA} = \vec{OA} - \vec{OM} $$$$ \vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM} $$$$ \vec{MC} = \vec{OC} - \vec{OM} $$

Найдем сумму этих векторов, которую требуется доказать равной нулевому вектору:$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{OA} - \vec{OM}) + (\vec{OB} - \vec{OM}) + (\vec{OC} - \vec{OM}) $$

Сгруппируем слагаемые в правой части равенства:$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - 3\vec{OM} $$

Теперь подставим в полученное выражение формулу для радиус-вектора центроида $\vec{OM}$:$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - 3 \cdot \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $$$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $$$$ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0} $$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: равенство $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}$ доказано.