Номер 517, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Сложение и вычитание векторов. Глава 4. Векторы - номер 517, страница 123.

Условие.

517. Катер из точки А переправляется через реку шириной 300 м с постоянной собственной скоростью. Через 100 с катер причаливает к противоположному берегу в точке В. Прямая АВ перпендикулярна параллельным берегам реки. Скорость течения реки $\sqrt{3}$ м/с. Под каким углом к берегу реки был направлен нос катера?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом сложения скоростей. Результирующая скорость катера относительно берега ($\vec{v}_{рез}$) является векторной суммой его собственной скорости относительно воды ($\vec{v}_{кат}$) и скорости течения реки ($\vec{v}_{теч}$).

$ \vec{v}_{рез} = \vec{v}_{кат} + \vec{v}_{теч} $

Введем систему координат: ось OY направим перпендикулярно берегам (от A к B), а ось OX — вдоль берега по направлению течения.

Согласно условию, катер пересекает реку шириной $d = 300$ м за время $t = 100$ с, двигаясь по прямой AB, перпендикулярной берегам. Это означает, что вектор результирующей скорости $\vec{v}_{рез}$ направлен строго перпендикулярно берегу, то есть вдоль оси OY. Найдем модуль результирующей скорости:$ v_{рез} = \frac{d}{t} = \frac{300 \text{ м}}{100 \text{ с}} = 3 \text{ м/с} $

Скорость течения $\vec{v}_{теч}$ направлена вдоль берега (вдоль оси OX), и ее модуль равен $v_{теч} = \sqrt{3}$ м/с.

Чтобы катер двигался строго перпендикулярно берегу, его собственная скорость $\vec{v}_{кат}$ должна быть направлена под некоторым углом против течения. Компонента скорости катера, направленная против течения, должна компенсировать скорость течения. Векторы скоростей $\vec{v}_{рез}$, $\vec{v}_{теч}$ и $\vec{v}_{кат}$ образуют прямоугольный треугольник, где:

• катет, перпендикулярный берегу, — это модуль результирующей скорости $v_{рез}$;
• катет, параллельный берегу, — это модуль скорости течения $v_{теч}$;
• гипотенуза — это модуль собственной скорости катера $v_{кат}$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол между направлением носа катера (вектором $\vec{v}_{кат}$) и линией берега. В треугольнике скоростей это угол, противолежащий катету $v_{рез}$.

Мы можем найти тангенс этого угла как отношение противолежащего катета ($v_{рез}$) к прилежащему катету ($v_{теч}$):$ \tan(\alpha) = \frac{v_{рез}}{v_{теч}} $

Подставим известные значения в формулу:$ \tan(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $

Найдем угол $\alpha$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$:$ \alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ $

Следовательно, нос катера был направлен под углом $60^\circ$ к берегу против течения.
Ответ: $60^\circ$.