Номер 3, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Что можно сказать о ненулевых векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{b} = k\vec{a}$, где $k$ — некоторое число?

Условие $\vec{b} = k\vec{a}$ для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является определением коллинеарности векторов. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Поскольку по условию векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то и число $k$ не может быть равно нулю. Если бы $k=0$, то $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$, что противоречит условию. Следовательно, $k \neq 0$. В зависимости от знака и величины коэффициента $k$ можно сделать следующие выводы.

Направление векторов. Если коэффициент $k > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление, что обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$). Если же $k < 0$, то векторы противоположно направлены (обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

Длины (модули) векторов. Длина вектора $\vec{b}$ связана с длиной вектора $\vec{a}$ соотношением: $|\vec{b}| = |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Это значит, что длина вектора $\vec{b}$ в $|k|$ раз отличается от длины вектора $\vec{a}$. Например, если $|k| > 1$, то вектор $\vec{b}$ длиннее вектора $\vec{a}$, а если $0 < |k| < 1$, то короче. Если $|k|=1$, то длины векторов равны, при этом если $k=1$, то $\vec{b} = \vec{a}$, а если $k=-1$, то $\vec{b} = -\vec{a}$.

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными, то есть лежат на одной или на параллельных прямых. При $k > 0$ они сонаправлены, а при $k < 0$ — противоположно направлены. Их длины связаны соотношением $|\vec{b}| = |k||\vec{a}|$.