Номер 8, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Запишите сочетательное и распределительные свойства умножения вектора на число.

Сочетательное свойство умножения вектора на число

Для любых чисел (скаляров) $k$ и $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство, которое называется сочетательным, или ассоциативным, свойством:

$ (kl)\vec{a} = k(l\vec{a}) $

Это означает, что результат умножения вектора на произведение двух чисел не зависит от порядка выполнения умножения: можно сначала перемножить числа, а потом умножить вектор на полученное произведение, либо последовательно умножать вектор на каждое из чисел.

Ответ: $ (kl)\vec{a} = k(l\vec{a}) $

Распределительные свойства умножения вектора на число

Существует два распределительных (дистрибутивных) свойства, которые связывают операцию умножения вектора на число с операциями сложения.

1. Распределительное свойство относительно сложения векторов. Для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство:

$ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} $

То есть, чтобы умножить сумму векторов на число, можно умножить на это число каждый вектор в отдельности и затем сложить полученные векторы.

2. Распределительное свойство относительно сложения чисел. Для любых чисел $k$ и $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство:

$ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} $

То есть, чтобы умножить вектор на сумму чисел, можно умножить вектор на каждое число в отдельности и затем сложить полученные векторы.

Ответ: $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} $ и $ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} $