Номер 525, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

525. Постройте два неколлинеарных вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Отметьте какую-либо точку $O$. От точки $O$ отложите векторы:

1) $3\vec{x} + \vec{y}$;

2) $\vec{x} + 2\vec{y}$;

3) $-\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}$;

4) $-2\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$.

Для решения задачи сначала построим два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$ и выберем произвольную точку $O$. Неколлинеарные векторы — это векторы, не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Для наглядности можно изобразить их выходящими из одной точки под некоторым углом. Точка $O$ будет служить началом для всех результирующих векторов. Построение векторов будем выполнять по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма).

1) $3\vec{x} + \vec{y}$

Для построения вектора $\vec{a} = 3\vec{x} + \vec{y}$ выполним следующие шаги. Сначала от точки $O$ отложим вектор $\vec{OA}$, сонаправленный с вектором $\vec{x}$ и имеющий длину в 3 раза большую, то есть $\vec{OA} = 3\vec{x}$. Затем от конца полученного вектора, точки $A$, отложим вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{y}$. По правилу треугольника, искомый вектор $\vec{a}$ будет соединять начало первого вектора (точку $O$) с концом второго вектора (точкой $B$). Таким образом, $\vec{a} = \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = 3\vec{x} + \vec{y}$. Альтернативно, можно использовать правило параллелограмма: от точки $O$ откладываем векторы $\vec{OA} = 3\vec{x}$ и $\vec{OC} = \vec{y}$, достраиваем на них параллелограмм $OABC$, и диагональ $\vec{OB}$ будет искомым вектором.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{OB}$, построенный по правилу треугольника или как диагональ параллелограмма, построенного на векторах $3\vec{x}$ и $\vec{y}$, отложенных от точки $O$.

2) $\vec{x} + 2\vec{y}$

Для построения вектора $\vec{b} = \vec{x} + 2\vec{y}$ выполним следующие шаги. По правилу параллелограмма: от точки $O$ отложим вектор $\vec{OP}$, равный вектору $\vec{x}$, и вектор $\vec{OR}$, сонаправленный с вектором $\vec{y}$ и имеющий длину в 2 раза большую ($\vec{OR} = 2\vec{y}$). Затем построим на векторах $\vec{OP}$ и $\vec{OR}$ параллелограмм $OPQR$. Диагональ $\vec{OQ}$ этого параллелограмма будет искомым вектором, то есть $\vec{b} = \vec{OQ} = \vec{x} + 2\vec{y}$. По правилу треугольника: от точки $O$ откладываем вектор $\vec{OP} = \vec{x}$, а от точки $P$ откладываем вектор $\vec{PQ} = 2\vec{y}$. Вектор $\vec{OQ}$ и будет искомым.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{OQ}$, построенный как диагональ параллелограмма на векторах $\vec{x}$ и $2\vec{y}$, или по правилу треугольника.

3) $-\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}$

Для построения вектора $\vec{c} = -\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}$ воспользуемся правилом треугольника. Сначала от точки $O$ отложим вектор $\vec{OM}$, который направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{x}$, и имеет длину, равную половине длины вектора $\vec{x}$. Таким образом, $\vec{OM} = -\frac{1}{2}\vec{x}$. Затем от точки $M$ отложим вектор $\vec{MN}$, который сонаправлен с вектором $\vec{y}$ и имеет длину в 3 раза большую, то есть $\vec{MN} = 3\vec{y}$. Искомый вектор $\vec{c}$ — это вектор $\vec{ON}$, соединяющий начало первого вектора (точку $O$) с концом второго (точкой $N$), так как $\vec{c} = \vec{ON} = \vec{OM} + \vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{ON}$, построенный по правилу треугольника из векторов $-\frac{1}{2}\vec{x}$ и $3\vec{y}$.

4) $-2\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$

Для построения вектора $\vec{d} = -2\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$ также используем правило треугольника. Сначала от точки $O$ отложим вектор $\vec{OS}$, который направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{x}$, и имеет длину, в 2 раза большую длины вектора $\vec{x}$. Таким образом, $\vec{OS} = -2\vec{x}$. Затем от конца этого вектора, точки $S$, отложим вектор $\vec{ST}$, который направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{y}$, и имеет длину, равную одной трети длины вектора $\vec{y}$, то есть $\vec{ST} = -\frac{1}{3}\vec{y}$. По правилу треугольника, искомый вектор $\vec{d}$ — это вектор $\vec{OT}$, соединяющий начало первого вектора (точку $O$) с концом второго (точкой $T$), так как $\vec{d} = \vec{OT} = \vec{OS} + \vec{ST} = -2\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{OT}$, построенный по правилу треугольника из векторов $-2\vec{x}$ и $-\frac{1}{3}\vec{y}$.