Страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

522. Даны векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ (рис. 128). Постройте вектор:

1) $2\vec{b}$;

2) $-\frac{1}{3}\vec{c}$;

3) $\frac{2}{3}\vec{a}$;

4) $-\frac{1}{6}\vec{a}$.

Рис. 128

Для построения требуемых векторов сначала определим координаты исходных векторов, принимая за единицу измерения сторону одной клетки сетки. Начало вектора можно поместить в любую точку плоскости.

• Вектор $\vec{a}$ смещается на 6 клеток вправо и на 2 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{a} = \{6; 2\}$.
• Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо и на 2 клетки вниз, следовательно, его координаты $\vec{b} = \{2; -2\}$.
• Вектор $\vec{c}$ смещается на 3 клетки вниз, следовательно, его координаты $\vec{c} = \{0; -3\}$.

Умножение вектора на число (скаляр) $k$ приводит к созданию нового вектора, который коллинеарен исходному. Длина нового вектора будет в $|k|$ раз больше длины исходного. Если $k > 0$, то направление вектора сохраняется. Если $k < 0$, то направление меняется на противоположное.

1) $2\vec{b}$
Чтобы построить вектор $2\vec{b}$, нужно умножить координаты вектора $\vec{b}=\{2; -2\}$ на 2.$2\vec{b} = 2 \cdot \{2; -2\} = \{2 \cdot 2; 2 \cdot (-2)\} = \{4; -4\}$.Это означает, что нужно построить вектор, который начинается в произвольной точке и заканчивается в точке, смещенной на 4 клетки вправо и 4 клетки вниз. Направление вектора $2\vec{b}$ совпадает с направлением $\vec{b}$, а его длина в два раза больше.
Ответ: Вектор с координатами $\{4; -4\}$, то есть смещение на 4 клетки вправо и 4 клетки вниз.

2) $-\frac{1}{3}\vec{c}$
Чтобы построить вектор $-\frac{1}{3}\vec{c}$, нужно умножить координаты вектора $\vec{c}=\{0; -3\}$ на $-\frac{1}{3}$.$-\frac{1}{3}\vec{c} = -\frac{1}{3} \cdot \{0; -3\} = \{-\frac{1}{3} \cdot 0; -\frac{1}{3} \cdot (-3)\} = \{0; 1\}$.Так как множитель отрицательный, вектор будет направлен в противоположную сторону вектору $\vec{c}$. Вектор $\vec{c}$ направлен на 3 клетки вниз, значит вектор $-\frac{1}{3}\vec{c}$ будет направлен на 1 клетку вверх.
Ответ: Вектор с координатами $\{0; 1\}$, то есть смещение на 1 клетку вверх.

3) $\frac{2}{3}\vec{a}$
Чтобы построить вектор $\frac{2}{3}\vec{a}$, нужно умножить координаты вектора $\vec{a}=\{6; 2\}$ на $\frac{2}{3}$.$\frac{2}{3}\vec{a} = \frac{2}{3} \cdot \{6; 2\} = \{\frac{2}{3} \cdot 6; \frac{2}{3} \cdot 2\} = \{4; \frac{4}{3}\}$.Это означает, что нужно построить вектор, который смещается на 4 клетки вправо и на $\frac{4}{3}$ (одна целая и одна треть) клетки вверх. Направление вектора совпадает с направлением $\vec{a}$.
Ответ: Вектор с координатами $\{4; \frac{4}{3}\}$, то есть смещение на 4 клетки вправо и $\frac{4}{3}$ клетки вверх.

4) $-\frac{1}{6}\vec{a}$
Чтобы построить вектор $-\frac{1}{6}\vec{a}$, нужно умножить координаты вектора $\vec{a}=\{6; 2\}$ на $-\frac{1}{6}$.$-\frac{1}{6}\vec{a} = -\frac{1}{6} \cdot \{6; 2\} = \{-\frac{1}{6} \cdot 6; -\frac{1}{6} \cdot 2\} = \{-1; -\frac{1}{3}\}$.Так как множитель отрицательный, вектор будет направлен в противоположную сторону вектору $\vec{a}$. Это означает смещение на 1 клетку влево и на $\frac{1}{3}$ клетки вниз.
Ответ: Вектор с координатами $\{-1; -\frac{1}{3}\}$, то есть смещение на 1 клетку влево и $\frac{1}{3}$ клетки вниз.

523. Даны векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ (см. рис. 128). Постройте вектор:

1) $\frac{1}{2}\vec{a}$;

2) $-2\vec{b}$;

3) $-\frac{2}{3}\vec{c}$.

Рис. 128

Для решения задачи определим координаты данных векторов по клетчатой сетке, приняв сторону одной клетки за единицу длины.

• Вектор $\vec{a}$ смещается на 5 клеток вправо и 2 клетки вверх. Его координаты: $\vec{a} = (5, 2)$.
• Вектор $\vec{b}$ смещается на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз. Его координаты: $\vec{b} = (1, -2)$.
• Вектор $\vec{c}$ смещается на 3 клетки вертикально вниз. Его координаты: $\vec{c} = (0, -3)$.

При умножении вектора на скаляр (число) $k$, каждая координата вектора умножается на этот скаляр. Результирующий вектор $k\vec{v}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{v}$, если $k > 0$, и противоположно направлен, если $k < 0$. Его длина будет в $|k|$ раз отличаться от длины исходного вектора.

1) $\frac{1}{2}\vec{a}$

Требуется построить вектор, который является результатом умножения вектора $\vec{a}$ на число $\frac{1}{2}$. Так как множитель $k = \frac{1}{2}$ — положительное число, результирующий вектор будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$, а его длина будет равна половине длины вектора $\vec{a}$.

Вычислим координаты нового вектора:

$\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(5, 2) = (\frac{1}{2} \cdot 5, \frac{1}{2} \cdot 2) = (2.5, 1)$.

Для построения вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$ нужно из произвольной точки на плоскости отложить вектор, конец которого смещен на 2.5 клетки вправо и 1 клетку вверх.

Ответ: Вектор с координатами $(2.5, 1)$.

2) $-2\vec{b}$

Требуется построить вектор, который является результатом умножения вектора $\vec{b}$ на число $-2$. Так как множитель $k = -2$ — отрицательное число, результирующий вектор будет направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{b}$, а его длина будет в $|-2| = 2$ раза больше длины вектора $\vec{b}$.

Вычислим координаты нового вектора:

$-2\vec{b} = -2(1, -2) = (-2 \cdot 1, -2 \cdot (-2)) = (-2, 4)$.

Для построения вектора $-2\vec{b}$ нужно из произвольной точки на плоскости отложить вектор, конец которого смещен на 2 клетки влево и 4 клетки вверх.

Ответ: Вектор с координатами $(-2, 4)$.

3) $-\frac{2}{3}\vec{c}$

Требуется построить вектор, который является результатом умножения вектора $\vec{c}$ на число $-\frac{2}{3}$. Так как множитель $k = -\frac{2}{3}$ — отрицательное число, результирующий вектор будет направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{c}$, а его длина будет составлять $\frac{2}{3}$ от длины вектора $\vec{c}$.

Вычислим координаты нового вектора:

$-\frac{2}{3}\vec{c} = -\frac{2}{3}(0, -3) = (-\frac{2}{3} \cdot 0, -\frac{2}{3} \cdot (-3)) = (0, 2)$.

Для построения вектора $-\frac{2}{3}\vec{c}$ нужно из произвольной точки на плоскости отложить вертикальный вектор, направленный вверх, длиной 2 клетки.

Ответ: Вектор с координатами $(0, 2)$.

524. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 129). Постройте вектор:

1) $2\vec{a} + \vec{b}$;

2) $\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$;

3) $\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$;

4) $-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$.

Рис. 128

Рис. 129

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$

Для решения задачи сначала определим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя сетку на рисунке 129. Примем сторону одной клетки за единицу.

Вектор $\vec{a}$ смещается на 3 клетки вправо и на 2 клетки вниз, следовательно, его координаты $\vec{a} = (3; -2)$.

Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{b} = (2; 3)$.

Теперь построим требуемые векторы, вычислив их координаты.

1) $2\vec{a} + \vec{b}$

Сначала найдем координаты вектора $2\vec{a}$:

$2\vec{a} = 2 \cdot (3; -2) = (6; -4)$

Теперь сложим векторы $2\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$2\vec{a} + \vec{b} = (6; -4) + (2; 3) = (6+2; -4+3) = (8; -1)$

Для построения нужно отложить от произвольной точки вектор $2\vec{a}$ (сонаправленный с $\vec{a}$ и вдвое длиннее), а от его конца отложить вектор $\vec{b}$. Итоговый вектор будет соединять начало первого вектора и конец второго.

Ответ: Вектор $2\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $(8; -1)$.

2) $\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$

Найдем координаты вектора $\frac{1}{3}\vec{a}$:

$\frac{1}{3}\vec{a} = \frac{1}{3} \cdot (3; -2) = (1; -\frac{2}{3})$

Теперь сложим векторы $\frac{1}{3}\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b} = (1; -\frac{2}{3}) + (2; 3) = (1+2; -\frac{2}{3}+3) = (3; \frac{7}{3})$

Для построения нужно отложить от произвольной точки вектор $\frac{1}{3}\vec{a}$ (сонаправленный с $\vec{a}$ и втрое короче), а от его конца отложить вектор $\vec{b}$.

Ответ: Вектор $\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $(3; \frac{7}{3})$.

3) $\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Это выражение можно представить как сумму векторов $\vec{a}$ и $(-\frac{1}{2}\vec{b})$. Найдем координаты вектора $-\frac{1}{2}\vec{b}$:

$-\frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{2} \cdot (2; 3) = (-1; -\frac{3}{2})$

Теперь сложим векторы $\vec{a}$ и $-\frac{1}{2}\vec{b}$:

$\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = (3; -2) + (-1; -\frac{3}{2}) = (3-1; -2-\frac{3}{2}) = (2; -\frac{7}{2})$

Для построения нужно отложить от произвольной точки вектор $\vec{a}$, а от его конца отложить вектор $-\frac{1}{2}\vec{b}$ (противоположно направленный вектору $\vec{b}$ и вдвое короче).

Ответ: Вектор $\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$ имеет координаты $(2; -3.5)$.

4) $-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

Найдем координаты векторов $-\frac{1}{3}\vec{a}$ и $-\frac{2}{3}\vec{b}$ по отдельности:

$-\frac{1}{3}\vec{a} = -\frac{1}{3} \cdot (3; -2) = (-1; \frac{2}{3})$

$-\frac{2}{3}\vec{b} = -\frac{2}{3} \cdot (2; 3) = (-\frac{4}{3}; -2)$

Теперь сложим полученные векторы:

$-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} = (-1; \frac{2}{3}) + (-\frac{4}{3}; -2) = (-1-\frac{4}{3}; \frac{2}{3}-2) = (-\frac{7}{3}; -\frac{4}{3})$

Для построения нужно отложить от произвольной точки вектор $-\frac{1}{3}\vec{a}$ (противоположно направленный вектору $\vec{a}$ и втрое короче), а от его конца отложить вектор $-\frac{2}{3}\vec{b}$ (противоположно направленный вектору $\vec{b}$ и длиной $\frac{2}{3}$ от его длины).

Ответ: Вектор $-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$ имеет координаты $(-\frac{7}{3}; -\frac{4}{3})$.

525. Постройте два неколлинеарных вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Отметьте какую-либо точку $O$. От точки $O$ отложите векторы:

1) $3\vec{x} + \vec{y}$;

2) $\vec{x} + 2\vec{y}$;

3) $-\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}$;

4) $-2\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$.

Для решения задачи сначала построим два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{x}$ и $\vec{y}$ и выберем произвольную точку $O$. Неколлинеарные векторы — это векторы, не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Для наглядности можно изобразить их выходящими из одной точки под некоторым углом. Точка $O$ будет служить началом для всех результирующих векторов. Построение векторов будем выполнять по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма).

1) $3\vec{x} + \vec{y}$

Для построения вектора $\vec{a} = 3\vec{x} + \vec{y}$ выполним следующие шаги. Сначала от точки $O$ отложим вектор $\vec{OA}$, сонаправленный с вектором $\vec{x}$ и имеющий длину в 3 раза большую, то есть $\vec{OA} = 3\vec{x}$. Затем от конца полученного вектора, точки $A$, отложим вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{y}$. По правилу треугольника, искомый вектор $\vec{a}$ будет соединять начало первого вектора (точку $O$) с концом второго вектора (точкой $B$). Таким образом, $\vec{a} = \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = 3\vec{x} + \vec{y}$. Альтернативно, можно использовать правило параллелограмма: от точки $O$ откладываем векторы $\vec{OA} = 3\vec{x}$ и $\vec{OC} = \vec{y}$, достраиваем на них параллелограмм $OABC$, и диагональ $\vec{OB}$ будет искомым вектором.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{OB}$, построенный по правилу треугольника или как диагональ параллелограмма, построенного на векторах $3\vec{x}$ и $\vec{y}$, отложенных от точки $O$.

2) $\vec{x} + 2\vec{y}$

Для построения вектора $\vec{b} = \vec{x} + 2\vec{y}$ выполним следующие шаги. По правилу параллелограмма: от точки $O$ отложим вектор $\vec{OP}$, равный вектору $\vec{x}$, и вектор $\vec{OR}$, сонаправленный с вектором $\vec{y}$ и имеющий длину в 2 раза большую ($\vec{OR} = 2\vec{y}$). Затем построим на векторах $\vec{OP}$ и $\vec{OR}$ параллелограмм $OPQR$. Диагональ $\vec{OQ}$ этого параллелограмма будет искомым вектором, то есть $\vec{b} = \vec{OQ} = \vec{x} + 2\vec{y}$. По правилу треугольника: от точки $O$ откладываем вектор $\vec{OP} = \vec{x}$, а от точки $P$ откладываем вектор $\vec{PQ} = 2\vec{y}$. Вектор $\vec{OQ}$ и будет искомым.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{OQ}$, построенный как диагональ параллелограмма на векторах $\vec{x}$ и $2\vec{y}$, или по правилу треугольника.

3) $-\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}$

Для построения вектора $\vec{c} = -\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}$ воспользуемся правилом треугольника. Сначала от точки $O$ отложим вектор $\vec{OM}$, который направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{x}$, и имеет длину, равную половине длины вектора $\vec{x}$. Таким образом, $\vec{OM} = -\frac{1}{2}\vec{x}$. Затем от точки $M$ отложим вектор $\vec{MN}$, который сонаправлен с вектором $\vec{y}$ и имеет длину в 3 раза большую, то есть $\vec{MN} = 3\vec{y}$. Искомый вектор $\vec{c}$ — это вектор $\vec{ON}$, соединяющий начало первого вектора (точку $O$) с концом второго (точкой $N$), так как $\vec{c} = \vec{ON} = \vec{OM} + \vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{ON}$, построенный по правилу треугольника из векторов $-\frac{1}{2}\vec{x}$ и $3\vec{y}$.

4) $-2\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$

Для построения вектора $\vec{d} = -2\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$ также используем правило треугольника. Сначала от точки $O$ отложим вектор $\vec{OS}$, который направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{x}$, и имеет длину, в 2 раза большую длины вектора $\vec{x}$. Таким образом, $\vec{OS} = -2\vec{x}$. Затем от конца этого вектора, точки $S$, отложим вектор $\vec{ST}$, который направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{y}$, и имеет длину, равную одной трети длины вектора $\vec{y}$, то есть $\vec{ST} = -\frac{1}{3}\vec{y}$. По правилу треугольника, искомый вектор $\vec{d}$ — это вектор $\vec{OT}$, соединяющий начало первого вектора (точку $O$) с концом второго (точкой $T$), так как $\vec{d} = \vec{OT} = \vec{OS} + \vec{ST} = -2\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{OT}$, построенный по правилу треугольника из векторов $-2\vec{x}$ и $-\frac{1}{3}\vec{y}$.

526. Постройте три точки A, B и C такие, что:

1) $\vec{AB} = 2\vec{AC};$

2) $\vec{AB} = -3\vec{AC};$

3) $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB};$

4) $\vec{AC} = -\frac{1}{3}\vec{BC}.$

1) $\vec{AB} = 2\vec{AC}$

Данное векторное равенство $\vec{AB} = 2\vec{AC}$ связывает два вектора, имеющих общее начало в точке A. Из этого равенства можно сделать следующие выводы о расположении точек A, B и C:

1. Коллинеарность: Так как вектор $\vec{AB}$ является произведением вектора $\vec{AC}$ на число 2, эти векторы коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых). Поскольку у них общее начало (точка A), то все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

2. Направление: Коэффициент 2 — положительное число. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены, то есть направлены в одну и ту же сторону. Следовательно, точки B и C находятся по одну сторону от точки A.

3. Длина: Модуль (длина) вектора $\vec{AB}$ в два раза больше модуля вектора $\vec{AC}$, то есть $|\vec{AB}| = 2|\vec{AC}|$.

Из этих трех пунктов следует, что точка C находится между точками A и B, причем на равном расстоянии от них. Таким образом, C является серединой отрезка AB.

Для построения точек нужно выбрать любые две точки A и C, провести через них прямую и на продолжении отрезка AC за точку C отложить отрезок CB, равный отрезку AC.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, при этом точка C является серединой отрезка AB.

2) $\vec{AB} = -3\vec{AC}$

Векторное равенство $\vec{AB} = -3\vec{AC}$ также связывает векторы с общим началом в точке A. Проанализируем его:

1. Коллинеарность: Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, так как связаны скалярным множителем. Поскольку у них общее начало A, точки A, B и C лежат на одной прямой.

2. Направление: Коэффициент -3 — отрицательное число. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ противоположно направлены. Так как они выходят из одной точки A, то лучи AB и AC направлены в разные стороны. Следовательно, точка A находится между точками B и C.

3. Длина: Модуль вектора $\vec{AB}$ в три раза больше модуля вектора $\vec{AC}$, так как $|\vec{AB}| = |-3| \cdot |\vec{AC}| = 3|\vec{AC}|$.

Таким образом, точки B, A, C лежат на одной прямой в указанном порядке, и расстояние от A до B в три раза больше расстояния от A до C.

Для построения точек нужно выбрать любые две точки A и C, провести через них прямую и на этой прямой отложить от точки A в сторону, противоположную лучу AC, отрезок AB, длина которого в три раза больше длины AC.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка A лежит на отрезке BC и делит его в отношении $BA:AC = 3:1$.

3) $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Равенство $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ связывает векторы, у которых конец одного ($\vec{AB}$) является началом другого ($\vec{BC}$).

1. Коллинеарность: Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны. Так как они имеют общую точку B, все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

2. Направление: Коэффициент $\frac{1}{2}$ — положительное число. Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены. Это значит, что, двигаясь из A в B, мы продолжаем движение в том же направлении, чтобы попасть в C. Порядок точек на прямой: A, B, C.

3. Длина: Длина вектора $\vec{BC}$ равна половине длины вектора $\vec{AB}$, то есть $|\vec{BC}| = \frac{1}{2}|\vec{AB}|$.

Таким образом, точка B лежит на отрезке AC, и расстояние от A до B в два раза больше расстояния от B до C.

Для построения точек нужно выбрать любые две точки A и B, провести через них прямую и на продолжении отрезка AB за точку B отложить отрезок BC, длина которого равна половине длины AB.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой в указанном порядке, причем точка B делит отрезок AC в отношении $AB:BC = 2:1$.

4) $\vec{AC} = -\frac{1}{3}\vec{BC}$

Равенство $\vec{AC} = -\frac{1}{3}\vec{BC}$ связывает векторы, имеющие общую конечную точку C.

1. Коллинеарность: Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Поскольку они имеют общую точку C, все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

2. Направление: Коэффициент $-\frac{1}{3}$ — отрицательное число. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ (направлен из A в C) и $\vec{BC}$ (направлен из B в C) противоположно направлены. Если у векторов общая конечная точка, а направления противоположны, то эта общая точка C должна лежать между начальными точками A и B. Порядок точек на прямой: A, C, B.

3. Длина: Длина вектора $\vec{AC}$ составляет одну треть длины вектора $\vec{BC}$: $|\vec{AC}| = |-\frac{1}{3}| \cdot |\vec{BC}| = \frac{1}{3}|\vec{BC}|$.

Следовательно, точка C лежит на отрезке AB, и расстояние от B до C в три раза больше расстояния от A до C.

Для построения точек нужно выбрать любые две точки A и B, разделить отрезок AB на 4 равные части. Точка C будет первой точкой деления, считая от A.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка C лежит на отрезке AB и делит его в отношении $AC:CB = 1:3$.

527. Начертите треугольник $ABC$. Отметьте точку $M$ – середину стороны $AC$.

1) От точки $M$ отложите вектор, равный вектору $\frac{1}{2}\vec{CB}$.

2) От точки $B$ отложите вектор, равный вектору $\frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC}$.

Сначала начертим произвольный треугольник $ABC$ и отметим точку $M$ как середину стороны $AC$, то есть $AM = MC$.

Чтобы найти искомый вектор, найдем точку $K$ — середину стороны $AB$. Рассмотрим вектор $\vec{MK}$, соединяющий середины сторон $AC$ и $AB$.Выразим вектор $\vec{MK}$ через векторы сторон треугольника, используя правило сложения векторов (правило треугольника):

$\vec{MK} = \vec{MA} + \vec{AK}$

По определению, $M$ — середина $AC$, следовательно, вектор $\vec{MA}$ равен половине вектора $\vec{CA}$:

$\vec{MA} = \frac{1}{2}\vec{CA}$

Аналогично, так как $K$ — середина $AB$, вектор $\vec{AK}$ равен половине вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Подставим эти выражения в исходное равенство для $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{CA} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{AB})$

По правилу сложения векторов $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Таким образом, получаем:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{CB}$

Это означает, что искомый вектор, отложенный от точки $M$, — это вектор, идущий из точки $M$ в середину стороны $AB$.

Построение:

1. Найдите середину стороны $AB$ и обозначьте ее точкой $K$.

2. Начертите направленный отрезок из точки $M$ в точку $K$. Вектор $\vec{MK}$ является искомым.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{MK}$, где $K$ — середина стороны $AB$.

Рассмотрим вектор $\vec{BM}$, который является медианой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$ к середине $M$ стороны $AC$. Выразим этот вектор через векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Используя правило сложения векторов, можем записать:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$

По условию, $M$ — середина стороны $AC$, поэтому $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

Теперь выразим вектор $\vec{AC}$ через векторы с общим началом в точке $B$. По правилу вычитания векторов: $\vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA}$.

Подставим это выражение для $\vec{AC}$ в формулу для медианы:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{1}{2}(\vec{BC} - \vec{BA})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{BA} = (1 - \frac{1}{2})\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC}$

Полученное выражение в точности совпадает с вектором, который требуется отложить от точки $B$. Следовательно, искомый вектор — это медиана $\vec{BM}$.

Построение:

1. Точка $M$ (середина стороны $AC$) уже отмечена по условию.

2. Начертите направленный отрезок из точки $B$ в точку $M$. Вектор $\vec{BM}$ является искомым.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{BM}$, где $M$ — середина стороны $AC$.