Страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

565. С помощью векторов докажите теорему о средней линии треугольника.

Теорема о средней линии треугольника утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Докажем это утверждение с помощью векторов.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой стороны $BC$. Тогда отрезок $MN$ — это средняя линия треугольника $ABC$.

Чтобы доказать теорему, выразим вектор $\vec{MN}$, соответствующий средней линии, через векторы, соответствующие сторонам треугольника. По правилу сложения векторов (пройдя по контуру от $M$ к $N$ через точку $B$) имеем:

$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$

Поскольку $M$ — середина отрезка $AB$, то вектор $\vec{MB}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$ и сонаправлен с ним. Аналогично, так как $N$ — середина $BC$, вектор $\vec{BN}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$. Запишем это математически:

$\vec{MB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Подставим эти выражения в исходное равенство для $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})$

По правилу треугольника сложения векторов, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Подставив это в наше выражение, получаем итоговое векторное соотношение:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Это равенство доказывает оба положения теоремы:

1. Вектор $\vec{MN}$ равен вектору $\vec{AC}$, умноженному на скаляр $k = \frac{1}{2}$. По определению коллинеарности векторов, это означает, что векторы $\vec{MN}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых. Следовательно, средняя линия $MN$ параллельна основанию $AC$.

2. Из этого же равенства следует соотношение для длин (модулей) векторов: $|\vec{MN}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}|$. Поскольку длина вектора равна длине соответствующего отрезка, то длина средней линии $MN$ равна половине длины стороны $AC$.

Таким образом, оба утверждения теоремы доказаны.

Ответ: Теорема о средней линии треугольника доказана. Установлено, что вектор средней линии $\vec{MN}$ и вектор основания $\vec{AC}$ связаны соотношением $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$, из которого следует, что $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

566. Пусть точки $M_1$ и $M_2$ – середины отрезков $A_1 B_1$ и $A_2 B_2$ соответственно. Докажите, что $\vec{M_1 M_2} = \frac{1}{2}(\vec{A_1 A_2} + \vec{B_1 B_2})$.

Для доказательства введем в рассмотрение произвольную точку $O$ в пространстве и будем работать с радиус-векторами точек относительно этого начала. Радиус-вектор точки $X$ будем обозначать как $\overrightarrow{OX}$.

По условию, точка $M_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$. По формуле радиус-вектора середины отрезка имеем:

$\overrightarrow{OM_1} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OB_1})$

Аналогично, точка $M_2$ является серединой отрезка $A_2B_2$. Для нее справедливо равенство:

$\overrightarrow{OM_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_2} + \overrightarrow{OB_2})$

Теперь выразим искомый вектор $\overrightarrow{M_1M_2}$ через радиус-векторы его начала и конца:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \overrightarrow{OM_2} - \overrightarrow{OM_1}$

Подставим в это равенство полученные выше выражения для $\overrightarrow{OM_1}$ и $\overrightarrow{OM_2}$:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_2} + \overrightarrow{OB_2}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OB_1})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_2} + \overrightarrow{OB_2} - \overrightarrow{OA_1} - \overrightarrow{OB_1})$

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы получить векторы, о которых идет речь в доказываемом равенстве:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2}((\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}) + (\overrightarrow{OB_2} - \overrightarrow{OB_1}))$

По определению разности векторов, имеем:

$\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{A_1A_2}$

$\overrightarrow{OB_2} - \overrightarrow{OB_1} = \overrightarrow{B_1B_2}$

Подставив эти выражения в предыдущую формулу, получаем окончательный результат:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2})$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

567. Используя задачу 566, докажите теорему о средней линии трапеции.

Для доказательства теоремы о средней линии трапеции воспользуемся утверждением из задачи 566, согласно которому отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности её оснований.

Сформулируем теорему, которую необходимо доказать: средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $AD=a$ и $BC=b$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции. Также введём точки $P$ и $Q$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.

Сначала докажем, что средняя линия параллельна основаниям. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$, поэтому $MQ$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, $MQ \parallel AD$. Так как по определению трапеции $AD \parallel BC$, то и $MQ \parallel BC$. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $NQ$ соединяет середины сторон $CD$ и $BD$. Следовательно, $NQ$ — средняя линия треугольника $BCD$, и $NQ \parallel BC$. Так как прямые, содержащие отрезки $MQ$ и $NQ$, проходят через одну точку $Q$ и обе параллельны прямой $BC$, эти прямые совпадают. Это означает, что точки $M, Q, N$ лежат на одной прямой, которая параллельна основаниям трапеции. Таким образом, $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Теперь докажем, что длина средней линии равна полусумме оснований. Из предыдущего рассуждения следует, что точки $M, Q, N$ лежат на одной прямой. Аналогично, рассмотрев треугольник $ABC$, можно показать, что точка $P$ (середина диагонали $AC$) также лежит на прямой $MN$. Таким образом, все четыре точки $M, P, Q, N$ лежат на одной прямой — средней линии трапеции.

Для нахождения длины $MN$ воспользуемся фактом из задачи 566: $PQ = \frac{|a-b|}{2}$.

Предположим, что $a > b$. В этом случае точки на средней линии располагаются в порядке $M, P, Q, N$. Длину отрезка $MN$ можно найти как сумму длин составляющих его отрезков: $MN = MP + PQ + QN$. Найдём длины этих отрезков. Отрезок $MP$ является средней линией треугольника $ABC$, следовательно, $MP = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$. Длина отрезка $PQ$ дана из задачи 566: $PQ = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a-b}{2}$. Отрезок $QN$ является средней линией треугольника $BCD$, следовательно, $QN = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$. Складывая длины, получаем: $MN = \frac{b}{2} + \frac{a-b}{2} + \frac{b}{2} = \frac{b + a - b + b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Если же $b > a$, то точки на средней линии располагаются в порядке $M, Q, P, N$. Тогда $MN = MQ + QP + PN$. Длина $MQ$ (средняя линия $\triangle ABD$) равна $\frac{a}{2}$. Длина $QP$ (из задачи 566) равна $\frac{b-a}{2}$. Длина $PN$ (средняя линия $\triangle ACD$) равна $\frac{a}{2}$. Складывая длины, получаем: $MN = \frac{a}{2} + \frac{b-a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a + b - a + a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

В обоих случаях результат одинаков. Таким образом, теорема о средней линии трапеции полностью доказана.

Ответ: Теорема доказана. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований.

568. Пусть точки M и N – соответственно середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Используя задачу 566, докажите, что

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{DC})$

Пусть $A, B, C, D$ — вершины произвольного четырёхугольника. Точка $M$ — середина диагонали $AC$, а точка $N$ — середина диагонали $BD$.
Для доказательства воспользуемся методом векторов. Введём произвольную точку $O$ в качестве начала отсчёта. Согласно результату задачи 566, радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов.

Применим это правило к точкам $M$ и $N$:
Поскольку $M$ — середина $AC$, её радиус-вектор $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$.
Поскольку $N$ — середина $BD$, её радиус-вектор $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$.

Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через радиус-векторы его конца и начала:
$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$

Подставим в это равенство выражения для $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ и преобразуем его:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD}) - \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA} - \vec{OC})$

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы выразить их через векторы сторон четырёхугольника:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{OB} - \vec{OA}) + (\vec{OD} - \vec{OC}))$

По правилу вычитания векторов, $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$ и $\vec{OD} - \vec{OC} = \vec{CD}$.
Следовательно,
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{CD})$

Чтобы привести это выражение к виду, указанному в задаче, воспользуемся свойством, что $\vec{CD} = -\vec{DC}$.
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{DC})$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

569. Пусть точки $M$ и $N$ – соответственно середины диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Используя задачу 566, докажите, что $MN \parallel AD$.

Для доказательства воспользуемся результатом, который обычно доказывается в предшествующих задачах (в данном случае, задача 566) — теоремой о средней линии треугольника. Теорема гласит, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Точка $M$ является серединой диагонали $AC$, а точка $N$ — серединой диагонали $BD$.

1. В качестве дополнительного построения выберем точку $K$ — середину боковой стороны $CD$ трапеции.

2. Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $MK$ соединяет середину стороны $AC$ (точка $M$ по условию) и середину стороны $CD$ (точка $K$ по построению). Таким образом, $MK$ является средней линией треугольника $ACD$. Согласно теореме о средней линии, $MK \parallel AD$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $NK$ соединяет середину стороны $BD$ (точка $N$ по условию) и середину стороны $CD$ (точка $K$ по построению). Таким образом, $NK$ является средней линией треугольника $BCD$. Согласно теореме о средней линии, $NK \parallel BC$.

4. По условию задачи, основания трапеции параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Из пункта 3 мы знаем, что $NK \parallel BC$. По свойству транзитивности параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), получаем, что $NK \parallel AD$.

5. Итак, мы получили, что прямая, содержащая отрезок $MK$, параллельна $AD$, и прямая, содержащая отрезок $NK$, также параллельна $AD$. Обе эти прямые проходят через одну и ту же точку $K$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые, содержащие отрезки $MK$ и $NK$, совпадают. Это означает, что точки $M$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой.

6. Поскольку точки $M$ и $N$ принадлежат прямой, которая параллельна $AD$, то и сам отрезок $MN$ параллелен прямой $AD$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $MN \parallel AD$.

570. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MC = 2 : 3$. Докажите, что $\vec{BM} = \frac{3}{5}\vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{BC}$.

Для доказательства воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Выразим вектор $\vec{BM}$ через векторы, исходящие из точки B:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$

Из условия задачи известно, что точка M делит сторону AC в отношении $AM : MC = 2 : 3$. Это означает, что длина отрезка AM составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины всей стороны AC. Так как точка M лежит на отрезке AC, векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены. Следовательно, мы можем записать следующее векторное равенство:

$\vec{AM} = \frac{2}{5}\vec{AC}$

Теперь подставим это выражение для вектора $\vec{AM}$ в нашу первую формулу:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{AC}$

Далее необходимо выразить вектор $\vec{AC}$ через векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, которые являются базисными в данном выражении. По правилу треугольника для векторов в $\triangle ABC$:

$\vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA}$

Подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{2}{5}(\vec{BC} - \vec{BA})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{BC} - \frac{2}{5}\vec{BA}$

$\vec{BM} = (1 - \frac{2}{5})\vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{BC}$

$\vec{BM} = \frac{3}{5}\vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{BC}$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Что и требовалось доказать.

571. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $BD : DC = 1 : 2$. Докажите, что $\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Мы должны выразить вектор $\vec{AD}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

1. Выразим вектор $\vec{AD}$ по правилу треугольника, используя векторы, выходящие из вершины $A$ и идущие в вершины треугольника $ABD$:

$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}$

2. Теперь нам нужно выразить вектор $\vec{BD}$ через базовые векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Точка $D$ лежит на отрезке $BC$. Это означает, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны и сонаправлены (имеют одинаковое направление).

3. Из условия задачи дано соотношение $BD : DC = 1 : 2$. Это значит, что отрезок $BD$ составляет 1 часть, а отрезок $DC$ — 2 части. Весь отрезок $BC$ состоит из $1+2=3$ таких частей. Таким образом, длина отрезка $BD$ составляет $\frac{1}{3}$ от длины всего отрезка $BC$.

4. Поскольку векторы $\vec{BD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, мы можем записать их соотношение:

$\vec{BD} = \frac{1}{3}\vec{BC}$

5. Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ по правилу вычитания векторов, имеющих общее начало в точке $A$:

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

6. Теперь подставим это выражение для $\vec{BC}$ в формулу для $\vec{BD}$ из пункта 4:

$\vec{BD} = \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB})$

7. Наконец, подставим полученное выражение для вектора $\vec{BD}$ в исходную формулу для $\vec{AD}$ из пункта 1:

$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AB} + \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB})$

8. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{AD} = \vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB}$

$\vec{AD} = (1 - \frac{1}{3})\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

$\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$, что и требовалось.

Ответ: Равенство доказано.

572. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника.

Для доказательства того, что существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника, необходимо показать, что для длин медиан выполняется неравенство треугольника. То есть, сумма длин любых двух медиан больше длины третьей медианы.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ к сторонам $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Обозначим их длины как $m_a, m_b, m_c$.

$$ m_a = |AA_1|, \quad m_b = |BB_1|, \quad m_c = |CC_1| $$

Нам нужно доказать, что выполняются следующие неравенства:

• $m_a + m_b > m_c$
• $m_b + m_c > m_a$
• $m_a + m_c > m_b$

Воспользуемся методом геометрического построения.

1. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке $O$ (центроид), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом:

$$ AO = \frac{2}{3}m_a, \quad BO = \frac{2}{3}m_b, \quad CO = \frac{2}{3}m_c $$

$$ OA_1 = \frac{1}{3}m_a, \quad OB_1 = \frac{1}{3}m_b, \quad OC_1 = \frac{1}{3}m_c $$

2. На продолжении отрезка $OC_1$ за точку $C_1$ отложим отрезок $C_1K$, равный отрезку $OC_1$. То есть, $C_1$ является серединой отрезка $OK$.

3. Рассмотрим четырехугольник $AOBK$. Его диагонали $AB$ и $OK$ пересекаются в точке $C_1$.

• По определению медианы $CC_1$, точка $C_1$ является серединой стороны $AB$.
• По нашему построению, точка $C_1$ является серединой отрезка $OK$.

4. Поскольку диагонали четырехугольника $AOBK$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

5. В параллелограмме противолежащие стороны равны. Следовательно:

$$ AK = BO = \frac{2}{3}m_b $$

$$ BK = AO = \frac{2}{3}m_a $$

6. Теперь рассмотрим треугольник $AOK$. Его стороны имеют следующие длины:

• $AO = \frac{2}{3}m_a$
• $AK = \frac{2}{3}m_b$ (из свойства параллелограмма $AOBK$)
• $OK = OC_1 + C_1K = 2 \cdot OC_1 = 2 \cdot \frac{1}{3}m_c = \frac{2}{3}m_c$

7. Мы построили треугольник $AOK$, стороны которого пропорциональны медианам исходного треугольника с коэффициентом $\frac{2}{3}$. Так как треугольник $AOK$ существует, для длин его сторон выполняется неравенство треугольника:

$$ AO + AK > OK \implies \frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_b > \frac{2}{3}m_c $$

$$ AK + OK > AO \implies \frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c > \frac{2}{3}m_a $$

$$ AO + OK > AK \implies \frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_c > \frac{2}{3}m_b $$

8. Умножим каждое из этих неравенств на положительное число $\frac{3}{2}$. Знаки неравенств при этом не изменятся:

$$ m_a + m_b > m_c $$

$$ m_b + m_c > m_a $$

$$ m_a + m_c > m_b $$

Таким образом, мы доказали, что длины медиан любого треугольника удовлетворяют неравенству треугольника. Следовательно, из трех отрезков, равных медианам данного треугольника, можно составить треугольник.

Ответ: Утверждение доказано.

573. Пусть точки $M_1$ и $M_2$ – середины отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $A_1A_2$, $M_1M_2$, $B_1B_2$ лежат на одной прямой.

Для решения этой задачи воспользуемся методом векторов. Пусть задана произвольная точка $O$ — начало координат. Обозначим радиус-векторы точек $A_1, B_1, A_2, B_2$ как $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{a_2}, \vec{b_2}$ соответственно.

По условию, точка $M_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$, а точка $M_2$ — серединой отрезка $A_2B_2$. Радиус-векторы точек $M_1$ и $M_2$ можно выразить через радиус-векторы концов отрезков:

$\vec{m_1} = \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1}}{2}$

$\vec{m_2} = \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2}}{2}$

Нам необходимо доказать, что середины отрезков $A_1A_2$, $M_1M_2$ и $B_1B_2$ лежат на одной прямой. Обозначим эти середины как $P$, $Q$ и $R$ соответственно.

Найдем радиус-векторы этих точек:

1. Точка $P$ — середина отрезка $A_1A_2$. Ее радиус-вектор $\vec{p}$ равен:

$\vec{p} = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2}}{2}$

2. Точка $R$ — середина отрезка $B_1B_2$. Ее радиус-вектор $\vec{r}$ равен:

$\vec{r} = \frac{\vec{b_1} + \vec{b_2}}{2}$

3. Точка $Q$ — середина отрезка $M_1M_2$. Ее радиус-вектор $\vec{q}$ равен:

$\vec{q} = \frac{\vec{m_1} + \vec{m_2}}{2}$

Теперь подставим выражения для $\vec{m_1}$ и $\vec{m_2}$ в формулу для $\vec{q}$:

$\vec{q} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1}}{2} + \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2}}{2} \right) = \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{a_2} + \vec{b_2}}{4}$

Чтобы доказать, что точки $P$, $Q$ и $R$ лежат на одной прямой (коллинеарны), мы можем показать, что одна из них является, например, серединой отрезка, образованного двумя другими. Давайте найдем радиус-вектор середины отрезка $PR$:

$\frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2}}{2} + \frac{\vec{b_1} + \vec{b_2}}{2} \right) = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{b_1} + \vec{b_2}}{4}$

Сравнивая полученное выражение с выражением для радиус-вектора $\vec{q}$, мы видим, что они идентичны:

$\vec{q} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$

Это равенство означает, что точка $Q$ является серединой отрезка $PR$. Если точка $Q$ является серединой отрезка $PR$, то все три точки $P$, $Q$ и $R$ лежат на одной прямой. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что середины отрезков $A_1A_2$, $M_1M_2$ и $B_1B_2$ лежат на одной прямой.

574. На стороне $AD$ и на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM = \frac{1}{5}AD$ и $AN = \frac{1}{6}AC$. Докажите, что точки $M, N$ и $B$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки M, N и B лежат на одной прямой, воспользуемся векторным методом. Достаточно показать, что векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MB}$ коллинеарны, то есть один вектор можно выразить через другой с помощью некоторого скалярного множителя: $\vec{MN} = k \cdot \vec{MB}$.

Примем точку А за начало векторов. Тогда векторы, соответствующие сторонам параллелограмма, будут $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

По правилу параллелограмма для векторов, диагональ $\vec{AC}$ равна сумме векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Выразим векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.По условию, точка M лежит на стороне AD и $AM = \frac{1}{5}AD$. Следовательно, вектор $\vec{AM}$ сонаправлен с вектором $\vec{AD}$, и его длина составляет $\frac{1}{5}$ длины $\vec{AD}$.$\vec{AM} = \frac{1}{5}\vec{AD}$

Точка N лежит на диагонали AC и $AN = \frac{1}{6}AC$. Аналогично,$\vec{AN} = \frac{1}{6}\vec{AC}$Подставим выражение для $\vec{AC}$:$\vec{AN} = \frac{1}{6}(\vec{AB} + \vec{AD})$

Теперь найдем векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MB}$.Вектор $\vec{MN}$ можно выразить как разность векторов $\vec{AN}$ и $\vec{AM}$ (по правилу треугольника):$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{6}(\vec{AB} + \vec{AD}) - \frac{1}{5}\vec{AD}$$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{1}{6}\vec{AD} - \frac{1}{5}\vec{AD}$$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} + (\frac{1}{6} - \frac{1}{5})\vec{AD}$$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} + (\frac{5 - 6}{30})\vec{AD}$$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} - \frac{1}{30}\vec{AD}$

Вектор $\vec{MB}$ можно выразить как разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AM}$:$\vec{MB} = \vec{AB} - \vec{AM} = \vec{AB} - \frac{1}{5}\vec{AD}$

Сравним полученные выражения для векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MB}$:$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} - \frac{1}{30}\vec{AD}$$\vec{MB} = \vec{AB} - \frac{1}{5}\vec{AD}$

Можно заметить, что если вынести за скобки множитель $\frac{1}{6}$ в выражении для вектора $\vec{MN}$, то получим:$\vec{MN} = \frac{1}{6}(\vec{AB} - \frac{5}{30}\vec{AD}) = \frac{1}{6}(\vec{AB} - \frac{1}{5}\vec{AD})$Выражение в скобках в точности равно вектору $\vec{MB}$.Таким образом, мы получили, что $\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{MB}$.

Поскольку вектор $\vec{MN}$ является произведением вектора $\vec{MB}$ на число ($\frac{1}{6}$), эти векторы коллинеарны. Так как они отложены от одной точки M, то точки M, N и B лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки M, N и B лежат на одной прямой.

575. Меньшее основание и боковая сторона равнобокой трапеции равны 12 см. Чему равна средняя линия трапеции, если один из её углов равен $60^\circ$?

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC — меньшее основание, AD — большее основание, а AB и CD — боковые стороны. По условию задачи, меньшее основание и боковая сторона равны 12 см, то есть $BC = AB = CD = 12$ см. Один из углов трапеции равен $60^\circ$. В равнобокой трапеции углы при большем основании острые, а при меньшем — тупые. Следовательно, углы при большем основании равны $60^\circ$: $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Для нахождения длины большего основания AD, опустим из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Четырехугольник BCKH является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$. Следовательно, $HK = BC = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем гипотенуза $AB = 12$ см, а угол $\angle A = 60^\circ$. Найдем катет AH, который является проекцией боковой стороны AB на основание AD. Используя определение косинуса, получим:

$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 12 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$AH = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, прямоугольные треугольники ABH и DCK равны. Значит, их катеты AH и KD также равны: $KD = AH = 6$ см.

Теперь мы можем найти длину большего основания AD, сложив длины отрезков, на которые оно разбито:

$AD = AH + HK + KD = 6 + 12 + 6 = 24$ см.

Средняя линия трапеции (обозначим ее m) равна полусумме ее оснований:

$m = \frac{BC + AD}{2}$

Подставим известные значения длин оснований:

$m = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Ответ: 18 см.

576. Диагонали параллелограмма равны 6 см и 16 см, а одна из сторон – 7 см. Найдите угол между диагоналями параллелограмма и его площадь.

Пусть дан параллелограмм. Его диагонали $d_1 = 6$ см и $d_2 = 16$ см, а одна из сторон $a = 7$ см. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, они образуют четыре треугольника. Рассмотрим один из них, сторонами которого являются сторона параллелограмма $a$ и половины диагоналей. Стороны этого треугольника равны $a = 7$ см, $\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Пусть $\alpha$ — это угол между диагоналями. В рассматриваемом треугольнике этот угол лежит напротив стороны $a = 7$ см. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:
$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Подставим числовые значения в формулу:
$7^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(\alpha)$
$49 = 9 + 64 - 48 \cos(\alpha)$
$49 = 73 - 48 \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$:
$48 \cos(\alpha) = 73 - 49$
$48 \cos(\alpha) = 24$
$\cos(\alpha) = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем сам угол $\alpha$:
$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$
Диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Один из углов равен $60^\circ$, а смежный с ним — $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. По определению, углом между прямыми считается меньший из образовавшихся углов.

Ответ: $60^\circ$.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле через длины его диагоналей и синус угла между ними:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

Подставим известные значения: $d_1 = 6$ см, $d_2 = 16$ см, и найденный угол $\alpha = 60^\circ$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 16 \cdot \sin(60^\circ)$

Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Выполним вычисления:
$S = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см$^2$.

577. Найдите длину хорды окружности радиуса $R$, концы которой разбивают эту окружность на две дуги, длины которых относятся как $2 : 1$.

Пусть $L$ - длина всей окружности, $L = 2\pi R$. Концы хорды делят окружность на две дуги, длины которых, $L_1$ и $L_2$, находятся в соотношении $L_1 : L_2 = 2 : 1$.

Сумма длин этих дуг равна длине всей окружности:

$L_1 + L_2 = L = 2\pi R$

Из соотношения $L_1 = 2L_2$ получаем:

$2L_2 + L_2 = 2\pi R$

$3L_2 = 2\pi R$

$L_2 = \frac{2\pi R}{3}$

Хорда стягивает меньшую из двух дуг, $L_2$. Центральный угол $\alpha$, опирающийся на эту дугу, пропорционален ее длине. Величину этого угла можно найти из пропорции:

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{L_2}{L} = \frac{\frac{2\pi R}{3}}{2\pi R} = \frac{1}{3}$

Отсюда $\alpha = \frac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой. Две стороны этого треугольника равны радиусу $R$, а угол между ними — это центральный угол $\alpha = 120^\circ$. Длину хорды, обозначим её $l$, можно найти по теореме косинусов:

$l^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\alpha)$

$l^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -1/2$, подставляем это значение в формулу:

$l^2 = 2R^2 - 2R^2 \left(-\frac{1}{2}\right)$

$l^2 = 2R^2 + R^2$

$l^2 = 3R^2$

Извлекая квадратный корень, находим длину хорды (длина не может быть отрицательной):

$l = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Ответ: $R\sqrt{3}$