Страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

551. Даны векторы $\vec{m}(4; -6)$, $\vec{n}(-1; \frac{3}{2})$, $\vec{k}(3; -\frac{9}{2})$. Укажите пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $\lambda$, что $\vec{a} = \lambda\vec{b}$, или, в координатной форме, $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \lambda$.
Если коэффициент пропорциональности $\lambda > 0$, то векторы сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).
Если $\lambda < 0$, то векторы противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

Проверим попарно данные векторы: $\vec{m}(4; -6)$, $\vec{n}(-1; \frac{3}{2})$ и $\vec{k}(3; -\frac{9}{2})$.

Сонаправленные векторы

Проверим пару векторов $\vec{m}$ и $\vec{k}$. Найдем отношение их координат, чтобы найти коэффициент $\lambda$ такой, что $\vec{m} = \lambda\vec{k}$.
Отношение первых координат: $\frac{4}{3}$.
Отношение вторых координат: $\frac{-6}{-\frac{9}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
Поскольку отношения координат равны и коэффициент пропорциональности $\lambda = \frac{4}{3} > 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{k}$ являются сонаправленными.
Ответ: $\vec{m}$ и $\vec{k}$.

Противоположно направленные векторы

1. Проверим пару векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Найдем коэффициент $\lambda$ такой, что $\vec{m} = \lambda\vec{n}$.
Отношение первых координат: $\frac{4}{-1} = -4$.
Отношение вторых координат: $\frac{-6}{\frac{3}{2}} = -6 \cdot \frac{2}{3} = -4$.
Коэффициент пропорциональности $\lambda = -4 < 0$, следовательно, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены.

2. Проверим пару векторов $\vec{n}$ и $\vec{k}$. Найдем коэффициент $\lambda$ такой, что $\vec{k} = \lambda\vec{n}$.
Отношение первых координат: $\frac{3}{-1} = -3$.
Отношение вторых координат: $\frac{-\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{18}{6} = -3$.
Коэффициент пропорциональности $\lambda = -3 < 0$, следовательно, векторы $\vec{n}$ и $\vec{k}$ также противоположно направлены.
Ответ: $\vec{m}$ и $\vec{n}$; $\vec{n}$ и $\vec{k}$.

552. Найдите значения x, при которых векторы $ \vec{a} (1; x) $ и $ \vec{b} \left( \frac{x}{4}; 4 \right) $ коллинеарны.

Два ненулевых вектора $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Условие коллинеарности можно записать в виде равенства:

$a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1$

В данном случае нам даны векторы $\vec{a}(1; x)$ и $\vec{b}(\frac{x}{4}; 4)$. Их координаты:

$a_1 = 1$, $a_2 = x$

$b_1 = \frac{x}{4}$, $b_2 = 4$

Подставим эти значения в условие коллинеарности:

$1 \cdot 4 = x \cdot \frac{x}{4}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$4 = \frac{x^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4 \cdot 4 = x^2$

$16 = x^2$

Из этого квадратного уравнения находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{16} = 4$

$x_2 = -\sqrt{16} = -4$

Таким образом, векторы коллинеарны при $x=4$ и $x=-4$.

Ответ: $x = -4; 4$.

553. При каких значениях $y$ векторы $\vec{a} (2; 3)$ и $\vec{b} (-1; y)$ коллинеарны?

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Условие коллинеарности для ненулевых векторов можно записать в виде пропорции:$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

Для заданных векторов $\vec{a}(2; 3)$ и $\vec{b}(-1; y)$ подставим их координаты в это соотношение:$\frac{2}{-1} = \frac{3}{y}$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение y. Используя основное свойство пропорции (правило "крест-накрест"), получаем:$2 \cdot y = 3 \cdot (-1)$$2y = -3$

Отсюда находим y:$y = \frac{-3}{2}$$y = -1.5$

Ответ: $-1.5$

554. Дан вектор $\vec{b} (-3; 1)$. Найдите координаты вектора, коллинеарного вектору $\vec{b}$, модуль которого в два раза больше модуля вектора $\vec{b}$.

Сколько решений имеет задача?

Найдите координаты вектора, коллинеарного вектору $\vec{b}$, модуль которого в два раза больше модуля вектора $\vec{b}$.

Пусть искомый вектор $\vec{a}$ коллинеарен данному вектору $\vec{b}(-3; 1)$.

По определению коллинеарных векторов, существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Тогда координаты вектора $\vec{a}$ можно выразить через координаты вектора $\vec{b}$:

$\vec{a} = (k \cdot (-3); k \cdot 1) = (-3k; k)$

По условию задачи, модуль вектора $\vec{a}$ в два раза больше модуля вектора $\vec{b}$. Запишем это в виде уравнения:

$|\vec{a}| = 2 \cdot |\vec{b}|$

Найдем модуль (длину) вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Теперь найдем модуль вектора $\vec{a}$ через коэффициент $k$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-3k)^2 + k^2} = \sqrt{9k^2 + k^2} = \sqrt{10k^2} = |k|\sqrt{10}$

Подставим найденные значения модулей в наше уравнение $|\vec{a}| = 2 \cdot |\vec{b}|$:

$|k|\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{10}$, получим:

$|k| = 2$

Это уравнение имеет два решения для $k$: $k_1 = 2$ и $k_2 = -2$.

Найдем координаты искомого вектора для каждого из значений $k$:

1. Если $k = 2$, то вектор $\vec{a_1}$ имеет координаты:

$\vec{a_1} = (-3 \cdot 2; 2) = (-6; 2)$

2. Если $k = -2$, то вектор $\vec{a_2}$ имеет координаты:

$\vec{a_2} = (-3 \cdot (-2); -2) = (6; -2)$

Ответ: $(-6; 2)$ и $(6; -2)$.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы нашли два возможных значения для коэффициента $k$ ($k=2$ и $k=-2$), которые удовлетворяют всем условиям задачи, существует два вектора, являющихся решением. Один из них сонаправлен с вектором $\vec{b}$ (при $k>0$), а другой направлен противоположно (при $k<0$). Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 2.

555. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, противоположно направленного вектору $\vec{n} (5; -12)$, если $|\vec{m}| = 39$.

По условию, вектор $\vec{m}$ противоположно направлен вектору $\vec{n}(5; -12)$. Это означает, что векторы коллинеарны, и существует такое число $k$, что $\vec{m} = k \cdot \vec{n}$. Поскольку векторы направлены в противоположные стороны, коэффициент $k$ должен быть отрицательным ($k < 0$).

Таким образом, координаты вектора $\vec{m}$ можно выразить как $(5k; -12k)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Сначала найдем модуль вектора $\vec{n}$:

$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Модули векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ связаны соотношением:

$|\vec{m}| = |k| \cdot |\vec{n}|$

Нам известно, что $|\vec{m}| = 39$. Подставим известные значения в формулу:

$39 = |k| \cdot 13$

Отсюда находим модуль коэффициента $k$:

$|k| = \frac{39}{13} = 3$

Так как $k < 0$, то выбираем отрицательное значение: $k = -3$.

Теперь можем найти координаты вектора $\vec{m}$, умножив координаты вектора $\vec{n}$ на найденный коэффициент $k$:

$\vec{m} = -3 \cdot \vec{n} = (-3 \cdot 5; -3 \cdot (-12)) = (-15; 36)$

Ответ: $\vec{m}(-15; 36)$

556. Найдите координаты вектора $\vec{a}$, сонаправленного с вектором $\vec{b} (-9; 12)$, если $|\vec{a}|=5$.

По условию, вектор $\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{b}(-9; 12)$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и имеют одинаковое направление. Математически это выражается через равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, где $k$ — это некоторое положительное число ($k > 0$).
Пусть искомый вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x; y)$. Тогда, используя свойство сонаправленных векторов, можем записать:
$(x; y) = k \cdot (-9; 12) = (-9k; 12k)$.
Нам также известна длина (модуль) вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = 5$.
Модуль вектора с координатами $(x_0; y_0)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.
Применим эту формулу для вектора $\vec{a}$ с координатами $(-9k; 12k)$:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-9k)^2 + (12k)^2}$.
Так как $|\vec{a}| = 5$, получаем уравнение:
$\sqrt{(-9k)^2 + (12k)^2} = 5$.
Решим это уравнение, чтобы найти значение коэффициента $k$:
$\sqrt{81k^2 + 144k^2} = 5$
$\sqrt{225k^2} = 5$
$15 \cdot \sqrt{k^2} = 5$
$15 \cdot |k| = 5$
Поскольку векторы сонаправлены, коэффициент $k$ должен быть положительным, следовательно, $|k|=k$.
$15k = 5$
$k = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Теперь, зная $k$, мы можем вычислить координаты вектора $\vec{a}$:
$x = -9k = -9 \cdot \frac{1}{3} = -3$
$y = 12k = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4$.
Следовательно, искомый вектор имеет координаты $(-3; 4)$.
Ответ: $\vec{a}(-3; 4)$.

557. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-1; 2)$, $B (3; 5)$, $C (14; 6)$, $D (2; -3)$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является трапецией, необходимо показать, что две его противолежащие стороны параллельны, а две другие — не параллельны. В координатной геометрии две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент k прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, находится по формуле:$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Вычислим угловые коэффициенты для каждой стороны четырёхугольника с вершинами A(-1; 2), B(3; 5), C(14; 6), D(2; -3).

1. Угловой коэффициент стороны AB:$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 2}{3 - (-1)} = \frac{3}{4}$

2. Угловой коэффициент стороны BC:$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{6 - 5}{14 - 3} = \frac{1}{11}$

3. Угловой коэффициент стороны CD:$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-3 - 6}{2 - 14} = \frac{-9}{-12} = \frac{3}{4}$

4. Угловой коэффициент стороны DA:$k_{DA} = \frac{y_A - y_D}{x_A - x_D} = \frac{2 - (-3)}{-1 - 2} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$

Сравнивая полученные коэффициенты, мы видим, что $k_{AB} = k_{CD} = \frac{3}{4}$. Это означает, что стороны AB и CD параллельны (AB || CD).

В то же время, $k_{BC} \neq k_{DA}$, так как $\frac{1}{11} \neq -\frac{5}{3}$. Это означает, что стороны BC и DA не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника ABCD есть ровно одна пара параллельных сторон (AB и CD) и одна пара непараллельных сторон (BC и DA), он является трапецией по определению.

Ответ: Что и требовалось доказать.

558. Докажите, что точки $A (-1; 3)$, $B (4; -7)$, $D (-2; 5)$ лежат на одной прямой.

Для того чтобы доказать, что точки A(-1; 3), B(4; -7) и D(-2; 5) лежат на одной прямой, можно составить уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, и затем проверить, удовлетворяют ли координаты третьей точки этому уравнению.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$.
Подставим координаты точек A(-1; 3) и B(4; -7) в это уравнение, чтобы получить систему уравнений относительно коэффициентов $k$ и $b$:
$\begin{cases} 3 = k \cdot (-1) + b \\ -7 = k \cdot 4 + b \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $b$: $b = 3 + k$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$-7 = 4k + (3 + k)$
$-7 = 5k + 3$
$-10 = 5k$
$k = -2$
Теперь найдём $b$, подставив значение $k$ в выражение для $b$:
$b = 3 + (-2) = 1$
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид: $y = -2x + 1$.

Теперь проверим, лежит ли точка D(-2; 5) на этой прямой. Для этого подставим её координаты в полученное уравнение:
$y = -2x + 1$
$5 \overset{?}{=} -2 \cdot (-2) + 1$
$5 \overset{?}{=} 4 + 1$
$5 = 5$
Равенство верное, следовательно, точка D лежит на той же прямой, что и точки A и B.

Поскольку все три точки удовлетворяют уравнению $y = -2x + 1$, они лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки A, B и D лежат на одной прямой.

559. Даны векторы $\vec{a} (1; -4)$, $\vec{b} (0; 3)$, $\vec{c} (2; -17)$. Найдите такие числа $x$ и $y$, что $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Для решения задачи необходимо выразить вектор $\vec{c}$ как линейную комбинацию векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Это означает, что нужно найти такие скалярные коэффициенты $x$ и $y$, которые удовлетворяют уравнению $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Запишем это векторное уравнение в координатной форме, используя данные из условия:
$\vec{a}(1; -4)$, $\vec{b}(0; 3)$, $\vec{c}(2; -17)$.

Подставляем координаты векторов в уравнение:
$(2; -17) = x(1; -4) + y(0; 3)$

Выполним операцию умножения вектора на число для правой части уравнения:
$(2; -17) = (x \cdot 1; x \cdot (-4)) + (y \cdot 0; y \cdot 3)$
$(2; -17) = (x; -4x) + (0; 3y)$

Теперь выполним операцию сложения векторов в правой части:
$(2; -17) = (x + 0; -4x + 3y)$
$(2; -17) = (x; -4x + 3y)$

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны. Это позволяет нам составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$:
$\begin{cases} x = 2 \\ -4x + 3y = -17 \end{cases}$

Из первого уравнения системы мы сразу находим значение $x$:
$x = 2$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:
$-4(2) + 3y = -17$
$-8 + 3y = -17$
$3y = -17 + 8$
$3y = -9$
$y = \frac{-9}{3}$
$y = -3$

Таким образом, мы нашли искомые числа.

Ответ: $x = 2$, $y = -3$.

560. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. На стороне $BC$ отметили точку $K$ так, что $BK : KC = 2 : 3$. Выразите вектор $\vec{OK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{OK}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, представим его в виде суммы других векторов, которые легко выразить через заданные. Воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), выбрав путь из точки $O$ в точку $K$ через другие вершины параллелограмма. Например, $\vec{OK} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BK}$ или $\vec{OK} = \vec{OB} + \vec{BK}$. Выберем второй вариант: $\vec{OK} = \vec{OB} + \vec{BK}$.

1. Выразим вектор $\vec{OB}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $DB$.

Это означает, что вектор $\vec{OB}$ равен половине вектора $\vec{DB}$: $\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{DB}$.

В свою очередь, вектор $\vec{DB}$ можно найти по правилу вычитания векторов: $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$.

Подставив данные из условия ($\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$), получим: $\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Теперь можем найти вектор $\vec{OB}$: $\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{DB} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$.

2. Выразим вектор $\vec{BK}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Точка $K$ лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BK : KC = 2 : 3$. Это значит, что длина отрезка $BK$ составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины всей стороны $BC$.

Так как векторы $\vec{BK}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), то можем записать: $\vec{BK} = \frac{2}{5}\vec{BC}$.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.

Следовательно, $\vec{BK} = \frac{2}{5}\vec{b}$.

3. Найдем итоговый вектор $\vec{OK}$.

Подставим полученные выражения для векторов $\vec{OB}$ и $\vec{BK}$ в исходную формулу $\vec{OK} = \vec{OB} + \vec{BK}$: $\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) + \frac{2}{5}\vec{b}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{b}$.

$\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{a} + (-\frac{1}{2} + \frac{2}{5})\vec{b}$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 10: $-\frac{1}{2} + \frac{2}{5} = -\frac{5}{10} + \frac{4}{10} = -\frac{1}{10}$.

Таким образом, окончательное выражение для вектора $\vec{OK}$: $\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{10}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{10}\vec{b}$.

561. Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO : OC = 1 : 2, BO : OD = 4 : 3$. Выразите векторы $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$ через векторы $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.

Для решения задачи сначала выразим векторы $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию, $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, а точки $B$, $O$, $D$ — на другой. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Аналогично, векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ коллинеарны и противоположно направлены.

Из соотношения длин отрезков $AO : OC = 1 : 2$ следует, что $|\vec{OC}| = 2|\vec{OA}|$. Учитывая противоположное направление векторов, получаем:$\vec{OC} = -2 \cdot \vec{OA} = -2\vec{a}$.

Из соотношения длин отрезков $BO : OD = 4 : 3$ следует, что $|\vec{OD}| = \frac{3}{4}|\vec{OB}|$. Учитывая противоположное направление векторов, получаем:$\vec{OD} = -\frac{3}{4} \cdot \vec{OB} = -\frac{3}{4}\vec{b}$.

Теперь, используя правило разности векторов (вектор $\vec{XY}$ можно представить как разность $\vec{OY} - \vec{OX}$), выразим стороны четырёхугольника.

$\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ можно найти как разность векторов $\vec{OB}$ и $\vec{OA}$:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{BC}$

Вектор $\vec{BC}$ можно найти как разность векторов $\vec{OC}$ и $\vec{OB}$:

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = -2\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{BC} = -2\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CD}$

Вектор $\vec{CD}$ можно найти как разность векторов $\vec{OD}$ и $\vec{OC}$:

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (-\frac{3}{4}\vec{b}) - (-2\vec{a}) = 2\vec{a} - \frac{3}{4}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{CD} = 2\vec{a} - \frac{3}{4}\vec{b}$.

$\vec{DA}$

Вектор $\vec{DA}$ можно найти как разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OD}$:

$\vec{DA} = \vec{OA} - \vec{OD} = \vec{a} - (-\frac{3}{4}\vec{b}) = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{DA} = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$.

562. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $K$ и $F$ так, что $AK : KB = 1 : 2$ и $BF : FC = 2 : 3$. Выразите векторы $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AF}, \overrightarrow{KC}, \overrightarrow{KF}$ через векторы $\overrightarrow{BK} = \vec{m}, \overrightarrow{CF} = \vec{n}$.

Для решения задачи сначала выразим векторы сторон треугольника $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ через заданные векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Из условия $AK : KB = 1 : 2$, следует, что точка $K$ делит отрезок $AB$ в этом отношении. Длина отрезка $KB$ составляет $\frac{2}{3}$ длины отрезка $AB$. Так как векторы $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{KB}$ сонаправлены, то и вектор $\overrightarrow{KB}$ составляет $\frac{2}{3}$ от вектора $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{KB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
Нам дан вектор $\overrightarrow{BK} = \vec{m}$, значит $\overrightarrow{KB} = -\overrightarrow{BK} = -\vec{m}$.
Подставим это в соотношение: $-\vec{m} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
Отсюда выразим $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2}\vec{m}$.

Аналогично, из условия $BF : FC = 2 : 3$ следует, что точка $F$ делит отрезок $BC$ в этом отношении. Длина отрезка $FC$ составляет $\frac{3}{5}$ длины отрезка $BC$. Вектор $\overrightarrow{FC}$ составляет $\frac{3}{5}$ от вектора $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{FC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$.
Нам дан вектор $\overrightarrow{CF} = \vec{n}$, значит $\overrightarrow{FC} = -\overrightarrow{CF} = -\vec{n}$.
Подставим это в соотношение: $-\vec{n} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$.
Отсюда выразим $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{BC} = -\frac{5}{3}\vec{n}$.

Теперь, имея выражения для сторон треугольника, мы можем найти искомые векторы.

Выразим вектор $\overrightarrow{AC}$
По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
Подставим полученные ранее выражения для $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$:
$\overrightarrow{AC} = (-\frac{3}{2}\vec{m}) + (-\frac{5}{3}\vec{n}) = -\frac{3}{2}\vec{m} - \frac{5}{3}\vec{n}$.
Ответ: $\overrightarrow{AC} = -\frac{3}{2}\vec{m} - \frac{5}{3}\vec{n}$.

Выразим вектор $\overrightarrow{AF}$
По правилу треугольника: $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}$.
Мы знаем, что $\overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2}\vec{m}$. Найдем $\overrightarrow{BF}$.
Так как $BF : FC = 2 : 3$, то $\overrightarrow{BF} = \frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$.
Подставим выражение для $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{BF} = \frac{2}{5}(-\frac{5}{3}\vec{n}) = -\frac{2}{3}\vec{n}$.
Теперь найдем $\overrightarrow{AF}$: $\overrightarrow{AF} = -\frac{3}{2}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.
Ответ: $\overrightarrow{AF} = -\frac{3}{2}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.

Выразим вектор $\overrightarrow{KC}$
По правилу треугольника: $\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BC}$.
Мы знаем, что $\overrightarrow{KB} = -\vec{m}$ и $\overrightarrow{BC} = -\frac{5}{3}\vec{n}$.
Подставим эти значения: $\overrightarrow{KC} = -\vec{m} - \frac{5}{3}\vec{n}$.
Ответ: $\overrightarrow{KC} = -\vec{m} - \frac{5}{3}\vec{n}$.

Выразим вектор $\overrightarrow{KF}$
По правилу треугольника: $\overrightarrow{KF} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BF}$.
Мы знаем, что $\overrightarrow{KB} = -\vec{m}$ и $\overrightarrow{BF} = -\frac{2}{3}\vec{n}$ (нашли при вычислении $\overrightarrow{AF}$).
Подставим эти значения: $\overrightarrow{KF} = -\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.
Ответ: $\overrightarrow{KF} = -\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.

563. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM : MC = 1 : 3$ и $BN : NC = 4 : 3$. Выразите векторы $\vec{BA}$, $\vec{AN}$, $\vec{BM}$, $\vec{NM}$ через векторы $\vec{BN} = \vec{k}$, $\vec{AM} = \vec{p}$.

Для решения задачи сначала выразим векторы сторон треугольника $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$ через заданные векторы $\vec{p}$ и $\vec{k}$.

Из условия, что точка $M$ лежит на стороне $AC$ и $AM : MC = 1:3$, следует, что вектор $\overrightarrow{AM}$ составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ от вектора $\overrightarrow{AC}$. То есть, $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$. Поскольку по условию $\overrightarrow{AM} = \vec{p}$, получаем $\vec{p} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$, откуда $\overrightarrow{AC} = 4\vec{p}$.

Аналогично, из условия, что точка $N$ лежит на стороне $BC$ и $BN : NC = 4:3$, следует, что вектор $\overrightarrow{BN}$ составляет $\frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ от вектора $\overrightarrow{BC}$. То есть, $\overrightarrow{BN} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC}$. Поскольку по условию $\overrightarrow{BN} = \vec{k}$, получаем $\vec{k} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC}$, откуда $\overrightarrow{BC} = \frac{7}{4}\vec{k}$.

Теперь мы можем выразить искомые векторы.

$\overrightarrow{BA}$: Для нахождения вектора $\overrightarrow{BA}$ воспользуемся правилом сложения векторов: $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$. Вектор $\overrightarrow{CA}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AC}$, то есть $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -4\vec{p}$. Подставляя известные выражения для $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CA}$, получаем: $\overrightarrow{BA} = \frac{7}{4}\vec{k} + (-4\vec{p}) = \frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}$. Ответ: $\overrightarrow{BA} = \frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}$.

$\overrightarrow{AN}$: Выразим вектор $\overrightarrow{AN}$ по правилу сложения векторов: $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ противоположен вектору $\overrightarrow{BA}$, поэтому $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = -(\frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}) = 4\vec{p} - \frac{7}{4}\vec{k}$. Вектор $\overrightarrow{BN} = \vec{k}$ дан по условию. Тогда: $\overrightarrow{AN} = (4\vec{p} - \frac{7}{4}\vec{k}) + \vec{k} = 4\vec{p} - \frac{7}{4}\vec{k} + \frac{4}{4}\vec{k} = 4\vec{p} - \frac{3}{4}\vec{k}$. Ответ: $\overrightarrow{AN} = 4\vec{p} - \frac{3}{4}\vec{k}$.

$\overrightarrow{BM}$: Представим вектор $\overrightarrow{BM}$ как сумму векторов: $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM}$. Мы уже нашли $\overrightarrow{BA} = \frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}$, а вектор $\overrightarrow{AM} = \vec{p}$ дан по условию. Таким образом: $\overrightarrow{BM} = (\frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}) + \vec{p} = \frac{7}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$. Ответ: $\overrightarrow{BM} = \frac{7}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$.

$\overrightarrow{NM}$: Выразим вектор $\overrightarrow{NM}$ через уже найденные векторы: $\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BM}$. Вектор $\overrightarrow{NB}$ противоположен вектору $\overrightarrow{BN}$, то есть $\overrightarrow{NB} = -\vec{k}$. Вектор $\overrightarrow{BM}$ был найден ранее: $\overrightarrow{BM} = \frac{7}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$. Следовательно: $\overrightarrow{NM} = -\vec{k} + (\frac{7}{4}\vec{k} - 3\vec{p}) = (-\frac{4}{4} + \frac{7}{4})\vec{k} - 3\vec{p} = \frac{3}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$. Ответ: $\overrightarrow{NM} = \frac{3}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$.

564. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Выразите вектор $\vec{BM}$ через векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Пусть в треугольнике $ABC$ точка $M$ является точкой пересечения медиан. Проведем медиану $BK$ из вершины $B$ к стороне $AC$. По определению медианы, точка $K$ является серединой стороны $AC$.

Известно свойство медиан треугольника: они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BK$ и точки пересечения $M$ это означает, что $BM : MK = 2:1$.

Из этого соотношения следует, что вектор $\vec{BM}$ сонаправлен с вектором $\vec{BK}$ и его длина составляет $\frac{2}{3}$ от длины вектора $\vec{BK}$. В векторной форме это записывается как:$ \vec{BM} = \frac{2}{3}\vec{BK} $

Теперь необходимо выразить вектор медианы $\vec{BK}$ через векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Вектор, проведенный из вершины треугольника в середину противоположной стороны, равен полусумме векторов, проведенных из той же вершины к двум другим вершинам. То есть:$ \vec{BK} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) $

Для справки, это выводится так: по правилу треугольника $\vec{BK} = \vec{BA} + \vec{AK}$. Так как $K$ — середина $AC$, то $\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Вектор $\vec{AC}$ можно выразить как $\vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA}$. Подставляя все вместе: $\vec{BK} = \vec{BA} + \frac{1}{2}(\vec{BC} - \vec{BA}) = \vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{BA} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC}$.

Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{BK}$ в формулу для $\vec{BM}$:$ \vec{BM} = \frac{2}{3}\vec{BK} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) $

Упрощая выражение, получаем окончательный результат:$ \vec{BM} = \frac{1}{3}(\vec{BA} + \vec{BC}) $

Ответ: $ \vec{BM} = \frac{1}{3}(\vec{BA} + \vec{BC}) $.