Номер 557, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

557. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-1; 2)$, $B (3; 5)$, $C (14; 6)$, $D (2; -3)$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является трапецией, необходимо показать, что две его противолежащие стороны параллельны, а две другие — не параллельны. В координатной геометрии две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент k прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, находится по формуле:$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Вычислим угловые коэффициенты для каждой стороны четырёхугольника с вершинами A(-1; 2), B(3; 5), C(14; 6), D(2; -3).

1. Угловой коэффициент стороны AB:$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 2}{3 - (-1)} = \frac{3}{4}$

2. Угловой коэффициент стороны BC:$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{6 - 5}{14 - 3} = \frac{1}{11}$

3. Угловой коэффициент стороны CD:$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-3 - 6}{2 - 14} = \frac{-9}{-12} = \frac{3}{4}$

4. Угловой коэффициент стороны DA:$k_{DA} = \frac{y_A - y_D}{x_A - x_D} = \frac{2 - (-3)}{-1 - 2} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$

Сравнивая полученные коэффициенты, мы видим, что $k_{AB} = k_{CD} = \frac{3}{4}$. Это означает, что стороны AB и CD параллельны (AB || CD).

В то же время, $k_{BC} \neq k_{DA}$, так как $\frac{1}{11} \neq -\frac{5}{3}$. Это означает, что стороны BC и DA не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника ABCD есть ровно одна пара параллельных сторон (AB и CD) и одна пара непараллельных сторон (BC и DA), он является трапецией по определению.

Ответ: Что и требовалось доказать.