Номер 556, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

556. Найдите координаты вектора $\vec{a}$, сонаправленного с вектором $\vec{b} (-9; 12)$, если $|\vec{a}|=5$.

По условию, вектор $\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{b}(-9; 12)$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и имеют одинаковое направление. Математически это выражается через равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, где $k$ — это некоторое положительное число ($k > 0$).
Пусть искомый вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x; y)$. Тогда, используя свойство сонаправленных векторов, можем записать:
$(x; y) = k \cdot (-9; 12) = (-9k; 12k)$.
Нам также известна длина (модуль) вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = 5$.
Модуль вектора с координатами $(x_0; y_0)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.
Применим эту формулу для вектора $\vec{a}$ с координатами $(-9k; 12k)$:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-9k)^2 + (12k)^2}$.
Так как $|\vec{a}| = 5$, получаем уравнение:
$\sqrt{(-9k)^2 + (12k)^2} = 5$.
Решим это уравнение, чтобы найти значение коэффициента $k$:
$\sqrt{81k^2 + 144k^2} = 5$
$\sqrt{225k^2} = 5$
$15 \cdot \sqrt{k^2} = 5$
$15 \cdot |k| = 5$
Поскольку векторы сонаправлены, коэффициент $k$ должен быть положительным, следовательно, $|k|=k$.
$15k = 5$
$k = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Теперь, зная $k$, мы можем вычислить координаты вектора $\vec{a}$:
$x = -9k = -9 \cdot \frac{1}{3} = -3$
$y = 12k = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4$.
Следовательно, искомый вектор имеет координаты $(-3; 4)$.
Ответ: $\vec{a}(-3; 4)$.