Номер 560, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

560. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. На стороне $BC$ отметили точку $K$ так, что $BK : KC = 2 : 3$. Выразите вектор $\vec{OK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{OK}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, представим его в виде суммы других векторов, которые легко выразить через заданные. Воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), выбрав путь из точки $O$ в точку $K$ через другие вершины параллелограмма. Например, $\vec{OK} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BK}$ или $\vec{OK} = \vec{OB} + \vec{BK}$. Выберем второй вариант: $\vec{OK} = \vec{OB} + \vec{BK}$.

1. Выразим вектор $\vec{OB}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $DB$.

Это означает, что вектор $\vec{OB}$ равен половине вектора $\vec{DB}$: $\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{DB}$.

В свою очередь, вектор $\vec{DB}$ можно найти по правилу вычитания векторов: $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$.

Подставив данные из условия ($\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$), получим: $\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Теперь можем найти вектор $\vec{OB}$: $\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{DB} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$.

2. Выразим вектор $\vec{BK}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Точка $K$ лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BK : KC = 2 : 3$. Это значит, что длина отрезка $BK$ составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины всей стороны $BC$.

Так как векторы $\vec{BK}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), то можем записать: $\vec{BK} = \frac{2}{5}\vec{BC}$.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.

Следовательно, $\vec{BK} = \frac{2}{5}\vec{b}$.

3. Найдем итоговый вектор $\vec{OK}$.

Подставим полученные выражения для векторов $\vec{OB}$ и $\vec{BK}$ в исходную формулу $\vec{OK} = \vec{OB} + \vec{BK}$: $\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) + \frac{2}{5}\vec{b}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{b}$.

$\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{a} + (-\frac{1}{2} + \frac{2}{5})\vec{b}$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 10: $-\frac{1}{2} + \frac{2}{5} = -\frac{5}{10} + \frac{4}{10} = -\frac{1}{10}$.

Таким образом, окончательное выражение для вектора $\vec{OK}$: $\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{10}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{10}\vec{b}$.