Номер 564, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

564. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Выразите вектор $\vec{BM}$ через векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Пусть в треугольнике $ABC$ точка $M$ является точкой пересечения медиан. Проведем медиану $BK$ из вершины $B$ к стороне $AC$. По определению медианы, точка $K$ является серединой стороны $AC$.

Известно свойство медиан треугольника: они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BK$ и точки пересечения $M$ это означает, что $BM : MK = 2:1$.

Из этого соотношения следует, что вектор $\vec{BM}$ сонаправлен с вектором $\vec{BK}$ и его длина составляет $\frac{2}{3}$ от длины вектора $\vec{BK}$. В векторной форме это записывается как:$ \vec{BM} = \frac{2}{3}\vec{BK} $

Теперь необходимо выразить вектор медианы $\vec{BK}$ через векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Вектор, проведенный из вершины треугольника в середину противоположной стороны, равен полусумме векторов, проведенных из той же вершины к двум другим вершинам. То есть:$ \vec{BK} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) $

Для справки, это выводится так: по правилу треугольника $\vec{BK} = \vec{BA} + \vec{AK}$. Так как $K$ — середина $AC$, то $\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Вектор $\vec{AC}$ можно выразить как $\vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA}$. Подставляя все вместе: $\vec{BK} = \vec{BA} + \frac{1}{2}(\vec{BC} - \vec{BA}) = \vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{BA} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC}$.

Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{BK}$ в формулу для $\vec{BM}$:$ \vec{BM} = \frac{2}{3}\vec{BK} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) $

Упрощая выражение, получаем окончательный результат:$ \vec{BM} = \frac{1}{3}(\vec{BA} + \vec{BC}) $

Ответ: $ \vec{BM} = \frac{1}{3}(\vec{BA} + \vec{BC}) $.