Номер 561, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

561. Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO : OC = 1 : 2, BO : OD = 4 : 3$. Выразите векторы $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$ через векторы $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.

Для решения задачи сначала выразим векторы $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию, $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, а точки $B$, $O$, $D$ — на другой. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Аналогично, векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ коллинеарны и противоположно направлены.

Из соотношения длин отрезков $AO : OC = 1 : 2$ следует, что $|\vec{OC}| = 2|\vec{OA}|$. Учитывая противоположное направление векторов, получаем:$\vec{OC} = -2 \cdot \vec{OA} = -2\vec{a}$.

Из соотношения длин отрезков $BO : OD = 4 : 3$ следует, что $|\vec{OD}| = \frac{3}{4}|\vec{OB}|$. Учитывая противоположное направление векторов, получаем:$\vec{OD} = -\frac{3}{4} \cdot \vec{OB} = -\frac{3}{4}\vec{b}$.

Теперь, используя правило разности векторов (вектор $\vec{XY}$ можно представить как разность $\vec{OY} - \vec{OX}$), выразим стороны четырёхугольника.

$\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ можно найти как разность векторов $\vec{OB}$ и $\vec{OA}$:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{BC}$

Вектор $\vec{BC}$ можно найти как разность векторов $\vec{OC}$ и $\vec{OB}$:

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = -2\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{BC} = -2\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CD}$

Вектор $\vec{CD}$ можно найти как разность векторов $\vec{OD}$ и $\vec{OC}$:

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (-\frac{3}{4}\vec{b}) - (-2\vec{a}) = 2\vec{a} - \frac{3}{4}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{CD} = 2\vec{a} - \frac{3}{4}\vec{b}$.

$\vec{DA}$

Вектор $\vec{DA}$ можно найти как разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OD}$:

$\vec{DA} = \vec{OA} - \vec{OD} = \vec{a} - (-\frac{3}{4}\vec{b}) = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{DA} = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$.