Номер 563, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

563. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM : MC = 1 : 3$ и $BN : NC = 4 : 3$. Выразите векторы $\vec{BA}$, $\vec{AN}$, $\vec{BM}$, $\vec{NM}$ через векторы $\vec{BN} = \vec{k}$, $\vec{AM} = \vec{p}$.

Для решения задачи сначала выразим векторы сторон треугольника $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$ через заданные векторы $\vec{p}$ и $\vec{k}$.

Из условия, что точка $M$ лежит на стороне $AC$ и $AM : MC = 1:3$, следует, что вектор $\overrightarrow{AM}$ составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ от вектора $\overrightarrow{AC}$. То есть, $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$. Поскольку по условию $\overrightarrow{AM} = \vec{p}$, получаем $\vec{p} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$, откуда $\overrightarrow{AC} = 4\vec{p}$.

Аналогично, из условия, что точка $N$ лежит на стороне $BC$ и $BN : NC = 4:3$, следует, что вектор $\overrightarrow{BN}$ составляет $\frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ от вектора $\overrightarrow{BC}$. То есть, $\overrightarrow{BN} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC}$. Поскольку по условию $\overrightarrow{BN} = \vec{k}$, получаем $\vec{k} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC}$, откуда $\overrightarrow{BC} = \frac{7}{4}\vec{k}$.

Теперь мы можем выразить искомые векторы.

$\overrightarrow{BA}$: Для нахождения вектора $\overrightarrow{BA}$ воспользуемся правилом сложения векторов: $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$. Вектор $\overrightarrow{CA}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AC}$, то есть $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -4\vec{p}$. Подставляя известные выражения для $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CA}$, получаем: $\overrightarrow{BA} = \frac{7}{4}\vec{k} + (-4\vec{p}) = \frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}$. Ответ: $\overrightarrow{BA} = \frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}$.

$\overrightarrow{AN}$: Выразим вектор $\overrightarrow{AN}$ по правилу сложения векторов: $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ противоположен вектору $\overrightarrow{BA}$, поэтому $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = -(\frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}) = 4\vec{p} - \frac{7}{4}\vec{k}$. Вектор $\overrightarrow{BN} = \vec{k}$ дан по условию. Тогда: $\overrightarrow{AN} = (4\vec{p} - \frac{7}{4}\vec{k}) + \vec{k} = 4\vec{p} - \frac{7}{4}\vec{k} + \frac{4}{4}\vec{k} = 4\vec{p} - \frac{3}{4}\vec{k}$. Ответ: $\overrightarrow{AN} = 4\vec{p} - \frac{3}{4}\vec{k}$.

$\overrightarrow{BM}$: Представим вектор $\overrightarrow{BM}$ как сумму векторов: $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM}$. Мы уже нашли $\overrightarrow{BA} = \frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}$, а вектор $\overrightarrow{AM} = \vec{p}$ дан по условию. Таким образом: $\overrightarrow{BM} = (\frac{7}{4}\vec{k} - 4\vec{p}) + \vec{p} = \frac{7}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$. Ответ: $\overrightarrow{BM} = \frac{7}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$.

$\overrightarrow{NM}$: Выразим вектор $\overrightarrow{NM}$ через уже найденные векторы: $\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BM}$. Вектор $\overrightarrow{NB}$ противоположен вектору $\overrightarrow{BN}$, то есть $\overrightarrow{NB} = -\vec{k}$. Вектор $\overrightarrow{BM}$ был найден ранее: $\overrightarrow{BM} = \frac{7}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$. Следовательно: $\overrightarrow{NM} = -\vec{k} + (\frac{7}{4}\vec{k} - 3\vec{p}) = (-\frac{4}{4} + \frac{7}{4})\vec{k} - 3\vec{p} = \frac{3}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$. Ответ: $\overrightarrow{NM} = \frac{3}{4}\vec{k} - 3\vec{p}$.