Номер 562, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

562. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $K$ и $F$ так, что $AK : KB = 1 : 2$ и $BF : FC = 2 : 3$. Выразите векторы $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AF}, \overrightarrow{KC}, \overrightarrow{KF}$ через векторы $\overrightarrow{BK} = \vec{m}, \overrightarrow{CF} = \vec{n}$.

Для решения задачи сначала выразим векторы сторон треугольника $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ через заданные векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Из условия $AK : KB = 1 : 2$, следует, что точка $K$ делит отрезок $AB$ в этом отношении. Длина отрезка $KB$ составляет $\frac{2}{3}$ длины отрезка $AB$. Так как векторы $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{KB}$ сонаправлены, то и вектор $\overrightarrow{KB}$ составляет $\frac{2}{3}$ от вектора $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{KB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
Нам дан вектор $\overrightarrow{BK} = \vec{m}$, значит $\overrightarrow{KB} = -\overrightarrow{BK} = -\vec{m}$.
Подставим это в соотношение: $-\vec{m} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
Отсюда выразим $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2}\vec{m}$.

Аналогично, из условия $BF : FC = 2 : 3$ следует, что точка $F$ делит отрезок $BC$ в этом отношении. Длина отрезка $FC$ составляет $\frac{3}{5}$ длины отрезка $BC$. Вектор $\overrightarrow{FC}$ составляет $\frac{3}{5}$ от вектора $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{FC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$.
Нам дан вектор $\overrightarrow{CF} = \vec{n}$, значит $\overrightarrow{FC} = -\overrightarrow{CF} = -\vec{n}$.
Подставим это в соотношение: $-\vec{n} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$.
Отсюда выразим $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{BC} = -\frac{5}{3}\vec{n}$.

Теперь, имея выражения для сторон треугольника, мы можем найти искомые векторы.

Выразим вектор $\overrightarrow{AC}$
По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
Подставим полученные ранее выражения для $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$:
$\overrightarrow{AC} = (-\frac{3}{2}\vec{m}) + (-\frac{5}{3}\vec{n}) = -\frac{3}{2}\vec{m} - \frac{5}{3}\vec{n}$.
Ответ: $\overrightarrow{AC} = -\frac{3}{2}\vec{m} - \frac{5}{3}\vec{n}$.

Выразим вектор $\overrightarrow{AF}$
По правилу треугольника: $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}$.
Мы знаем, что $\overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2}\vec{m}$. Найдем $\overrightarrow{BF}$.
Так как $BF : FC = 2 : 3$, то $\overrightarrow{BF} = \frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$.
Подставим выражение для $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{BF} = \frac{2}{5}(-\frac{5}{3}\vec{n}) = -\frac{2}{3}\vec{n}$.
Теперь найдем $\overrightarrow{AF}$: $\overrightarrow{AF} = -\frac{3}{2}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.
Ответ: $\overrightarrow{AF} = -\frac{3}{2}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.

Выразим вектор $\overrightarrow{KC}$
По правилу треугольника: $\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BC}$.
Мы знаем, что $\overrightarrow{KB} = -\vec{m}$ и $\overrightarrow{BC} = -\frac{5}{3}\vec{n}$.
Подставим эти значения: $\overrightarrow{KC} = -\vec{m} - \frac{5}{3}\vec{n}$.
Ответ: $\overrightarrow{KC} = -\vec{m} - \frac{5}{3}\vec{n}$.

Выразим вектор $\overrightarrow{KF}$
По правилу треугольника: $\overrightarrow{KF} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BF}$.
Мы знаем, что $\overrightarrow{KB} = -\vec{m}$ и $\overrightarrow{BF} = -\frac{2}{3}\vec{n}$ (нашли при вычислении $\overrightarrow{AF}$).
Подставим эти значения: $\overrightarrow{KF} = -\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.
Ответ: $\overrightarrow{KF} = -\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$.