Номер 568, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Умножение вектора на число. Глава 4. Векторы - номер 568, страница 133.

Условие.

568. Пусть точки M и N – соответственно середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Используя задачу 566, докажите, что

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{DC})$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $A, B, C, D$ — вершины произвольного четырёхугольника. Точка $M$ — середина диагонали $AC$, а точка $N$ — середина диагонали $BD$.
Для доказательства воспользуемся методом векторов. Введём произвольную точку $O$ в качестве начала отсчёта. Согласно результату задачи 566, радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов.

Применим это правило к точкам $M$ и $N$:
Поскольку $M$ — середина $AC$, её радиус-вектор $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$.
Поскольку $N$ — середина $BD$, её радиус-вектор $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$.

Теперь выразим вектор $\vec{MN}$ через радиус-векторы его конца и начала:
$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$

Подставим в это равенство выражения для $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ и преобразуем его:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD}) - \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA} - \vec{OC})$

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы выразить их через векторы сторон четырёхугольника:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{OB} - \vec{OA}) + (\vec{OD} - \vec{OC}))$

По правилу вычитания векторов, $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$ и $\vec{OD} - \vec{OC} = \vec{CD}$.
Следовательно,
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{CD})$

Чтобы привести это выражение к виду, указанному в задаче, воспользуемся свойством, что $\vec{CD} = -\vec{DC}$.
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{DC})$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.