Номер 572, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

572. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника.

Для доказательства того, что существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника, необходимо показать, что для длин медиан выполняется неравенство треугольника. То есть, сумма длин любых двух медиан больше длины третьей медианы.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ к сторонам $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Обозначим их длины как $m_a, m_b, m_c$.

$$ m_a = |AA_1|, \quad m_b = |BB_1|, \quad m_c = |CC_1| $$

Нам нужно доказать, что выполняются следующие неравенства:

• $m_a + m_b > m_c$
• $m_b + m_c > m_a$
• $m_a + m_c > m_b$

Воспользуемся методом геометрического построения.

1. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке $O$ (центроид), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом:

$$ AO = \frac{2}{3}m_a, \quad BO = \frac{2}{3}m_b, \quad CO = \frac{2}{3}m_c $$

$$ OA_1 = \frac{1}{3}m_a, \quad OB_1 = \frac{1}{3}m_b, \quad OC_1 = \frac{1}{3}m_c $$

2. На продолжении отрезка $OC_1$ за точку $C_1$ отложим отрезок $C_1K$, равный отрезку $OC_1$. То есть, $C_1$ является серединой отрезка $OK$.

3. Рассмотрим четырехугольник $AOBK$. Его диагонали $AB$ и $OK$ пересекаются в точке $C_1$.

• По определению медианы $CC_1$, точка $C_1$ является серединой стороны $AB$.
• По нашему построению, точка $C_1$ является серединой отрезка $OK$.

4. Поскольку диагонали четырехугольника $AOBK$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

5. В параллелограмме противолежащие стороны равны. Следовательно:

$$ AK = BO = \frac{2}{3}m_b $$

$$ BK = AO = \frac{2}{3}m_a $$

6. Теперь рассмотрим треугольник $AOK$. Его стороны имеют следующие длины:

• $AO = \frac{2}{3}m_a$
• $AK = \frac{2}{3}m_b$ (из свойства параллелограмма $AOBK$)
• $OK = OC_1 + C_1K = 2 \cdot OC_1 = 2 \cdot \frac{1}{3}m_c = \frac{2}{3}m_c$

7. Мы построили треугольник $AOK$, стороны которого пропорциональны медианам исходного треугольника с коэффициентом $\frac{2}{3}$. Так как треугольник $AOK$ существует, для длин его сторон выполняется неравенство треугольника:

$$ AO + AK > OK \implies \frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_b > \frac{2}{3}m_c $$

$$ AK + OK > AO \implies \frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c > \frac{2}{3}m_a $$

$$ AO + OK > AK \implies \frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_c > \frac{2}{3}m_b $$

8. Умножим каждое из этих неравенств на положительное число $\frac{3}{2}$. Знаки неравенств при этом не изменятся:

$$ m_a + m_b > m_c $$

$$ m_b + m_c > m_a $$

$$ m_a + m_c > m_b $$

Таким образом, мы доказали, что длины медиан любого треугольника удовлетворяют неравенству треугольника. Следовательно, из трех отрезков, равных медианам данного треугольника, можно составить треугольник.

Ответ: Утверждение доказано.