Номер 573, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

573. Пусть точки $M_1$ и $M_2$ – середины отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $A_1A_2$, $M_1M_2$, $B_1B_2$ лежат на одной прямой.

Для решения этой задачи воспользуемся методом векторов. Пусть задана произвольная точка $O$ — начало координат. Обозначим радиус-векторы точек $A_1, B_1, A_2, B_2$ как $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{a_2}, \vec{b_2}$ соответственно.

По условию, точка $M_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$, а точка $M_2$ — серединой отрезка $A_2B_2$. Радиус-векторы точек $M_1$ и $M_2$ можно выразить через радиус-векторы концов отрезков:

$\vec{m_1} = \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1}}{2}$

$\vec{m_2} = \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2}}{2}$

Нам необходимо доказать, что середины отрезков $A_1A_2$, $M_1M_2$ и $B_1B_2$ лежат на одной прямой. Обозначим эти середины как $P$, $Q$ и $R$ соответственно.

Найдем радиус-векторы этих точек:

1. Точка $P$ — середина отрезка $A_1A_2$. Ее радиус-вектор $\vec{p}$ равен:

$\vec{p} = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2}}{2}$

2. Точка $R$ — середина отрезка $B_1B_2$. Ее радиус-вектор $\vec{r}$ равен:

$\vec{r} = \frac{\vec{b_1} + \vec{b_2}}{2}$

3. Точка $Q$ — середина отрезка $M_1M_2$. Ее радиус-вектор $\vec{q}$ равен:

$\vec{q} = \frac{\vec{m_1} + \vec{m_2}}{2}$

Теперь подставим выражения для $\vec{m_1}$ и $\vec{m_2}$ в формулу для $\vec{q}$:

$\vec{q} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1}}{2} + \frac{\vec{a_2} + \vec{b_2}}{2} \right) = \frac{\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{a_2} + \vec{b_2}}{4}$

Чтобы доказать, что точки $P$, $Q$ и $R$ лежат на одной прямой (коллинеарны), мы можем показать, что одна из них является, например, серединой отрезка, образованного двумя другими. Давайте найдем радиус-вектор середины отрезка $PR$:

$\frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2}}{2} + \frac{\vec{b_1} + \vec{b_2}}{2} \right) = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{b_1} + \vec{b_2}}{4}$

Сравнивая полученное выражение с выражением для радиус-вектора $\vec{q}$, мы видим, что они идентичны:

$\vec{q} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$

Это равенство означает, что точка $Q$ является серединой отрезка $PR$. Если точка $Q$ является серединой отрезка $PR$, то все три точки $P$, $Q$ и $R$ лежат на одной прямой. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что середины отрезков $A_1A_2$, $M_1M_2$ и $B_1B_2$ лежат на одной прямой.