Номер 3, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Чему равен угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если хотя бы один из них нулевой?

Угол между двумя векторами определяется, когда оба вектора являются ненулевыми. Это связано как с алгебраическим определением угла, так и с его геометрическим смыслом.

1. Алгебраическое определение. Угол $\alpha$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится через их скалярное произведение по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов.

Если хотя бы один из векторов, например $\vec{a}$, является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$), то его длина равна нулю: $|\vec{a}| = 0$. В этом случае знаменатель в формуле для косинуса угла обращается в ноль:

$|\vec{a}| |\vec{b}| = 0 \cdot |\vec{b}| = 0$

Скалярное произведение нулевого вектора на любой другой вектор также равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{0} \cdot \vec{b} = 0$.

Тогда выражение для косинуса угла принимает вид $\frac{0}{0}$, что является математической неопределенностью. Таким образом, с точки зрения формулы, угол не определен.

2. Геометрический смысл. Угол между векторами — это мера отклонения одного направления от другого. Нулевой вектор, который представляется точкой, не имеет длины и, что более важно, не имеет определенного направления. Поскольку у нулевого вектора нет направления, невозможно определить угол между ним и каким-либо другим вектором.

Таким образом, понятие угла между векторами вводится только для ненулевых векторов.

Ответ: Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними не определен.