Номер 10, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов.

Условие перпендикулярности (или ортогональности) двух ненулевых векторов вытекает из определения их скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла $ \theta $ между ними:
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) $

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен $ 90^\circ $. Косинус угла $ 90^\circ $ равен нулю:
$ \cos(90^\circ) = 0 $

Подставляя это значение в формулу скалярного произведения, получаем:
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 = 0 $

Поскольку по условию векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ являются ненулевыми, их длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ отличны от нуля. Следовательно, произведение $ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \neq 0 $. Это означает, что равенство $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $ выполняется тогда и только тогда, когда $ \cos(\theta) = 0 $, то есть когда угол $ \theta $ равен $ 90^\circ $.

Таким образом, формулируется необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
$ \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $

В координатной форме это условие выглядит следующим образом. Для векторов на плоскости с координатами $ \vec{a} = (x_1; y_1) $ и $ \vec{b} = (x_2; y_2) $ условие перпендикулярности имеет вид $ x_1x_2 + y_1y_2 = 0 $. Для векторов в пространстве с координатами $ \vec{a} = (x_1; y_1; z_1) $ и $ \vec{b} = (x_2; y_2; z_2) $ условие перпендикулярности имеет вид $ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0 $.

Ответ: Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.