Номер 14, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

14. Запишите свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и любого действительного числа (скаляра) $k$ справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. Переместительное (коммутативное) свойство.

   От перестановки векторов-сомножителей скалярное произведение не меняется. Это означает, что порядок векторов в скалярном произведении не имеет значения.

   $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

   Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

2. Сочетательное (ассоциативное) свойство относительно скалярного множителя.

   При умножении скалярного произведения на число, можно умножить на это число любой из векторов-сомножителей. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

   $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$

   Ответ: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

3. Распределительное (дистрибутивное) свойство относительно сложения векторов.

   Скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений каждого из слагаемых векторов на третий вектор.

   $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

   Ответ: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

4. Скалярный квадрат вектора.

   Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины (модуля). Это свойство связывает скалярное произведение с геометрическим понятием длины. Скалярный квадрат вектора всегда неотрицателен.

   $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \ge 0$

   Скалярный квадрат равен нулю тогда и только тогда, когда вектор является нулевым: $\vec{a}^2 = 0 \iff \vec{a} = \vec{0}$.

   Ответ: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$

5. Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов.

   Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны). Это следует из определения скалярного произведения через косинус угла $\theta$ между векторами: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$. Произведение равно нулю, если $\cos\theta=0$, что соответствует углу $\theta = 90^\circ$.

   $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$ (при условии, что $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} \neq \vec{0}$)

   Ответ: для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их скалярное произведение равно нулю ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$) тогда и только тогда, когда они перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$).