Номер 578, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

578. Постройте угол, величина которого равна углу между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 139).

Рис. 139

Чтобы построить угол, равный углу между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, необходимо совместить начала этих векторов в одной точке. Для этого выполним следующие шаги:

1. Выберем на клетчатой бумаге произвольную точку $O$, которая будет служить вершиной искомого угла.
2. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$. Судя по рисунку, вектор $\vec{a}$ смещается на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх. Соответственно, от точки $O$ отступаем 1 клетку влево и 2 клетки вверх и ставим точку $A$.
3. От той же точки $O$ отложим вектор $\vec{OB}$, равный вектору $\vec{b}$. Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо. Соответственно, от точки $O$ отступаем 2 клетки вправо и ставим точку $B$.
4. Угол $\angle AOB$ является искомым углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Для проверки правильности построения можно вычислить косинус угла между векторами. Введем систему координат с началом в точке $O$. Координаты векторов будут равны координатам их конечных точек: $\vec{a} = \vec{OA} = (-1; 2)$ и $\vec{b} = \vec{OB} = (2; 0)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 0 = -2$

Найдем модули (длины) векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{-2}{\sqrt{5} \cdot 2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

Так как косинус угла отрицателен, угол $\alpha$ является тупым, что соответствует нашему построению.

Ответ: Искомый угол строится путем откладывания векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей точки $O$. Угол, образованный полученными векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, и есть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.