Номер 12, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Как найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты?

Чтобы найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты, необходимо найти сумму произведений соответствующих координат этих векторов. Рассмотрим случаи для векторов на плоскости и в пространстве.

Пусть даны два вектора на плоскости: $\vec{a}$ с координатами $(x_1; y_1)$ и $\vec{b}$ с координатами $(x_2; y_2)$.

Их скалярное произведение, обозначаемое как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$, вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Это означает, что нужно перемножить первые координаты (абсциссы) векторов, затем перемножить вторые координаты (ординаты) векторов и сложить полученные произведения.

Пример: Найти скалярное произведение векторов $\vec{m} = (2; -5)$ и $\vec{n} = (4; 1)$.
Решение: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 4 + (-5) \cdot 1 = 8 - 5 = 3$.

Ответ: Скалярное произведение векторов на плоскости $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

Пусть даны два вектора в пространстве: $\vec{a}$ с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}$ с координатами $(x_2; y_2; z_2)$.

Их скалярное произведение вычисляется аналогично, но с добавлением произведения третьих координат (аппликат):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$

Это означает, что нужно попарно перемножить первые, вторые и третьи координаты векторов, а затем сложить все три полученных произведения.

Пример: Найти скалярное произведение векторов $\vec{p} = (1; -3; 6)$ и $\vec{q} = (5; 2; -1)$.
Решение: $\vec{p} \cdot \vec{q} = 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 2 + 6 \cdot (-1) = 5 - 6 - 6 = -7$.

Ответ: Скалярное произведение векторов в пространстве $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.