Номер 6, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Какие векторы называют перпендикулярными?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$.

Это геометрическое определение. Существует также алгебраическое определение, связанное со скалярным произведением векторов.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\alpha}$, где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Если векторы перпендикулярны, то угол $\alpha = 90^\circ$, а косинус этого угла $\cos(90^\circ) = 0$. Следовательно, скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 = 0$.

Это свойство является ключевым для проверки перпендикулярности векторов, заданных своими координатами. Если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{x_1; y_1; z_1\}$, а вектор $\vec{b}$ — $\{x_2; y_2; z_2\}$, то их скалярное произведение вычисляется как:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны (обозначается как $\vec{a} \perp \vec{b}$) тогда и только тогда, когда выполняется условие:
$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$.

По определению, нулевой вектор считается перпендикулярным любому вектору.

Ответ: Перпендикулярными называют два ненулевых вектора, угол между которыми равен $90^\circ$. Также можно сказать, что два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.