Номер 13, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. Как найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами, если известны их координаты?

Для нахождения косинуса угла между двумя ненулевыми векторами по их координатам используется формула, вытекающая из определения скалярного произведения векторов.

Пусть даны два ненулевых вектора в трехмерном пространстве: $ \vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\} $ и $ \vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\} $. Угол между ними обозначим как $ \theta $.

Существует два способа определить скалярное произведение векторов $ \vec{a} \cdot \vec{b} $:

1. Геометрическое определение: Скалярное произведение равно произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними.
   $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta $

2. Алгебраическое определение (через координаты): Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
   $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $

Приравнивая правые части этих двух выражений, получаем равенство:
$ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $

Из этого равенства можно выразить косинус угла $ \theta $:
$ \cos \theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $

Числитель этой дроби — это скалярное произведение векторов, вычисленное через координаты. Знаменатель — это произведение длин (модулей) векторов.

Длина (модуль) вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат:
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $
$ |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} $

Подставив формулы для длин векторов в выражение для косинуса, получим итоговую формулу для нахождения косинуса угла между векторами по их координатам.

Таким образом, алгоритм действий следующий:

1. Найти скалярное произведение векторов: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $.
2. Найти длину каждого вектора: $ |\vec{a}| $ и $ |\vec{b}| $.
3. Разделить скалярное произведение на произведение длин векторов.

Ответ: Косинус угла $ \theta $ между двумя ненулевыми векторами $ \vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\} $ и $ \vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\} $ находится по формуле:
$ \cos \theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}} $