Номер 582, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

582. На рисунке 143 изображён квадрат $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Найдите угол между векторами:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$; 2) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$; 3) $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$;

4) $\vec{DB}$ и $\vec{CB}$; 5) $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$.

Рис. 143

1) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$. Чтобы найти угол между векторами, необходимо отложить их от одной точки. Перенесем вектор $\vec{AB}$ так, чтобы его начало совпало с началом вектора $\vec{DA}$, то есть с точкой D. Получим вектор $\vec{DC}$, который равен вектору $\vec{AB}$ (так как в квадрате $ABCD$ стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны, а векторы сонаправлены). Теперь задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{DC}$ и $\vec{DA}$. Оба эти вектора выходят из одной точки D, следовательно, угол между ними равен углу $\angle ADC$. Так как $ABCD$ — это квадрат, все его углы прямые, поэтому $\angle ADC = 90^\circ$. Ответ: $90^\circ$.

2) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Оба вектора, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, начинаются в одной точке A. Следовательно, угол между ними — это угол $\angle BAC$. В квадрате диагональ является биссектрисой его угла. Угол $\angle DAB = 90^\circ$. Диагональ $AC$ делит его пополам. Таким образом, $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$.

3) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$. Вектор $\vec{CA}$ является противоположным вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен $45^\circ$ (как найдено в пункте 2). Угол между векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ связан с углом между $\vec{v_1}$ и $-\vec{v_2}$ соотношением $\angle(\vec{v_1}, -\vec{v_2}) = 180^\circ - \angle(\vec{v_1}, \vec{v_2})$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$ равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. $\angle(\vec{AB}, \vec{CA}) = 180^\circ - \angle(\vec{AB}, \vec{AC}) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Ответ: $135^\circ$.

4) Угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{CB}$. Чтобы найти угол, перенесем векторы к общему началу. Вектор $\vec{CB}$ равен вектору $\vec{DA}$ ($\vec{CB} = \vec{DA}$), так как они сонаправлены и их длины равны. Задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{DA}$. Оба вектора выходят из точки D, значит, искомый угол равен $\angle BDA$. Диагональ $BD$ в квадрате является биссектрисой угла $\angle ADC$. Так как $\angle ADC = 90^\circ$, то $\angle BDA = \frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$.

5) Угол между векторами $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$. Вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$ ($\vec{CD} = \vec{BA}$), так как они сонаправлены (при обходе вершин в одном порядке) и их длины равны. Следовательно, угол между векторами $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$ равен углу между векторами $\vec{BO}$ и $\vec{BA}$. Оба вектора, $\vec{BO}$ и $\vec{BA}$, выходят из одной точки B. Угол между ними — это $\angle OBA$. Точка O лежит на диагонали $BD$, поэтому угол $\angle OBA$ совпадает с углом $\angle DBA$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle CBA$. Поскольку $\angle CBA = 90^\circ$, то $\angle DBA = \frac{1}{2} \angle CBA = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Значит, $\angle OBA = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$.