Номер 588, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

588. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $CB = 2$ см. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$;

2) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$;

3) $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{BA}$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$ и катет $CB = 2$ см.

Сначала найдем длины всех сторон треугольника и угол $\angle B$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $CB$ лежит против угла $\angle A = 30^\circ$. Следовательно, гипотенуза $AB = 2 \cdot CB = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Найдем катет $AC$ по теореме Пифагора: $AC^2 + CB^2 = AB^2$. $AC^2 = AB^2 - CB^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$. $AC = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Итак, мы имеем длины векторов (модули): $| \vec{AC} | = AC = 2\sqrt{3}$ см, $| \vec{BC} | = | \vec{CB} | = CB = 2$ см, $| \vec{AB} | = | \vec{BA} | = AB = 4$ см.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

1) $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$

Вектор $\vec{AC}$ лежит на прямой $AC$, а вектор $\vec{BC}$ — на прямой $BC$. Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты $AC$ и $BC$ перпендикулярны ($\angle C = 90^\circ$), то угол между векторами, лежащими на этих прямых, равен $90^\circ$. Следовательно, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ ортогональны.

Скалярное произведение ортогональных векторов всегда равно нулю. $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

2) $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ имеют общее начало в точке $A$. Угол между ними равен углу $\angle A$ треугольника, то есть $30^\circ$.

$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle A) = (2\sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ)$.

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.

3) $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$, нужно привести их к общему началу. Перенесем их так, чтобы они оба начинались в точке $B$. Вектор $\vec{BA}$ уже начинается в $B$. Вектор $\vec{CB}$ направлен к точке $B$. Ему будет соответствовать вектор, начинающийся в точке $B$ и направленный в противоположную сторону от вектора $\vec{BC}$.

Угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ равен углу $\angle B = 60^\circ$. Угол между вектором $\vec{CB}$ и вектором $\vec{BA}$ будет смежным с углом $\angle B$, то есть он равен $180^\circ - \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\vec{CB} \cdot \vec{BA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{BA}| \cdot \cos(120^\circ)$.

Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем: $\vec{CB} \cdot \vec{BA} = 2 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$.

Ответ: -4.