Номер 592, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

592. В равностороннем треугольнике $ABC$, сторона которого равна 1, медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $M$. Вычислите:

1) $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}$;

2) $\vec{BM} \cdot \vec{MA_1}$.

Дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a=1$. Медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $M$.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Медианы также являются высотами и биссектрисами. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $|AA_1| = |BB_1| = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точка пересечения медиан $M$ (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

1) $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}$

Для вычисления скалярного произведения векторов разложим их по базисным векторам. В качестве базиса выберем векторы $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AB}$.

Так как треугольник равносторонний со стороной 1, то $|\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$, а угол между ними равен $60^\circ$.

Скалярное произведение базисных векторов равно:

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Выразим векторы медиан $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ через базисные векторы.

Точка $A_1$ — середина стороны $BC$. По правилу нахождения вектора медианы:

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{b})$.

Точка $B_1$ — середина стороны $AC$. Тогда $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{b}$. Вектор $\vec{BB_1}$ можно выразить как разность векторов:

$\vec{BB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$.

Теперь вычислим скалярное произведение:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = \left(\frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{b})\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}\right)$

$= \frac{1}{2} \left( (\vec{c} + \vec{b}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\vec{c}\cdot\vec{b} - \vec{c}\cdot\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{b} - \vec{b}\cdot\vec{c} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{c} - |\vec{c}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 - \vec{b}\cdot\vec{c} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{c}) - |\vec{c}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 \right)$

Подставим известные значения $|\vec{b}|=1$, $|\vec{c}|=1$ и $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$:

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1^2 + \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{4} - \frac{4}{4} + \frac{2}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{3}{4} \right) = -\frac{3}{8}$.

Ответ: $-\frac{3}{8}$.

2) $\vec{BM} \cdot \vec{MA_1}$

Точка $M$ делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что $BM = \frac{2}{3}BB_1$ и $MA_1 = \frac{1}{3}AA_1$.

Вектор $\vec{BM}$ сонаправлен с вектором $\vec{BB_1}$, поэтому $\vec{BM} = \frac{2}{3}\vec{BB_1}$.

Вектор $\vec{MA_1}$ сонаправлен с вектором $\vec{AA_1}$, поэтому $\vec{MA_1} = \frac{1}{3}\vec{AA_1}$.

Теперь вычислим скалярное произведение, используя результат из первого пункта:

$\vec{BM} \cdot \vec{MA_1} = \left(\frac{2}{3}\vec{BB_1}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\vec{AA_1}\right)$

$= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot (\vec{BB_1} \cdot \vec{AA_1})$

$= \frac{2}{9} (\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1})$

Из пункта 1) мы знаем, что $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = -\frac{3}{8}$.

$= \frac{2}{9} \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 8} = -\frac{6}{72} = -\frac{1}{12}$.

Ответ: $-\frac{1}{12}$.