Страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

584. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если:

1) $|\vec{m}| = 7\sqrt{2}, |\vec{n}| = 4, \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 45^{\circ};$

2) $|\vec{m}| = 8, |\vec{n}| = \sqrt{3}, \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 150^{\circ}.$

1)

Скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ определяется формулой: $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\angle(\vec{m}, \vec{n}))$.

По условию задачи даны следующие значения: $|\vec{m}| = 7\sqrt{2}$, $|\vec{n}| = 4$ и угол между векторами $\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 45^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 7\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(45^{\circ})$

Значение косинуса 45 градусов равно $\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисление:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 7\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 28 \cdot (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 28 \cdot \frac{2}{2} = 28 \cdot 1 = 28$.

Ответ: 28

2)

Используем ту же формулу для скалярного произведения: $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\angle(\vec{m}, \vec{n}))$.

Даны значения: $|\vec{m}| = 8$, $|\vec{n}| = \sqrt{3}$ и угол между векторами $\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 150^{\circ}$.

Подставим значения в формулу:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ})$

Найдем значение косинуса 150 градусов, используя формулу приведения: $\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим скалярное произведение:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 8 \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = - \frac{8 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = - \frac{8 \cdot 3}{2} = - \frac{24}{2} = -12$.

Ответ: -12

585. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{a} (2; -1)$, $ \vec{b} (1; -8)$;

2) $ \vec{a} (-5; 1)$, $ \vec{b} (2; 7)$;

3) $ \vec{a} (1; -4)$, $ \vec{b} (8; 2)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, заданных своими координатами, вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$. Это означает, что нужно перемножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения.

1) Для векторов $\vec{a}(2; -1)$ и $\vec{b}(1; -8)$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-8) = 2 + 8 = 10$.

Ответ: 10.

2) Для векторов $\vec{a}(-5; 1)$ и $\vec{b}(2; 7)$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5) \cdot 2 + 1 \cdot 7 = -10 + 7 = -3$.

Ответ: -3.

3) Для векторов $\vec{a}(1; -4)$ и $\vec{b}(8; 2)$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 8 + (-4) \cdot 2 = 8 - 8 = 0$.

Ответ: 0.

586. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если:

1) $\vec{m}(3; -2), \vec{n}(1; 0);$

2) $\vec{m}\left(\frac{3}{2}; -1\right), \vec{n}(6; 9).$

1)

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Даны векторы $\vec{m}(3; -2)$ и $\vec{n}(1; 0)$.

Применим формулу для данных векторов:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 3 + 0 = 3$.

Ответ: 3

2)

Используем ту же формулу для скалярного произведения.

Даны векторы $\vec{m}(\frac{3}{2}; -1)$ и $\vec{n}(6; 9)$.

Подставим координаты векторов в формулу:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{3}{2} \cdot 6 + (-1) \cdot 9 = \frac{18}{2} - 9 = 9 - 9 = 0$.

Ответ: 0

587. На рисунке 144 изображён ромб $ABCD$, в котором $AB = 6$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$;

3) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$;

4) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$;

5) $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$;

6) $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$.

По условию задачи дан ромб $ABCD$, в котором $AB = 6$ см и $\angle ABC = 120^\circ$.

Поскольку $ABCD$ — ромб, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA = 6$ см. Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому $\angle DAB = \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AB = AD = 6$ см и угол между ними $\angle DAB = 60^\circ$, то треугольник $ABD$ является равносторонним. Следовательно, его третья сторона $BD$ также равна 6 см, а все углы равны $60^\circ$. Аналогично, треугольник $BCD$ также равносторонний.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами.

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$

Длины векторов $|\vec{AB}| = 6$ и $|\vec{AD}| = 6$. Угол между векторами, исходящими из одной вершины A, равен $\angle DAB = 60^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.
Ответ: 18.

2) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$

Длины векторов $|\vec{AB}| = 6$ и $|\vec{CB}| = 6$. Чтобы найти угол между векторами, приведем их к общему началу, например, к точке B. Векторы, выходящие из точки B, это $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, и угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. Выразим искомые векторы через них: $\vec{AB} = -\vec{BA}$ и $\vec{CB} = -\vec{BC}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{CB} = (-\vec{BA}) \cdot (-\vec{BC}) = \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) = 36 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -18$.
Ответ: -18.

3) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$

Длины векторов $|\vec{AB}| = 6$ и $|\vec{DC}| = 6$. В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены. Угол между ними равен $0^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(0^\circ) = 6 \cdot 6 \cdot 1 = 36$.
Ответ: 36.

4) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$

Длины векторов $|\vec{BC}| = 6$ и $|\vec{DA}| = 6$. В ромбе $ABCD$ векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны ($\vec{BC} = \vec{AD}$). Вектор $\vec{DA}$ является противоположным вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Следовательно, $\vec{DA} = -\vec{BC}$, то есть векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$ противоположно направлены, и угол между ними равен $180^\circ$.
$\vec{BC} \cdot \vec{DA} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{DA}| \cdot \cos(180^\circ) = 6 \cdot 6 \cdot (-1) = -36$.
Ответ: -36.

5) $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$

Длины векторов $|\vec{DB}| = 6$ (диагональ) и $|\vec{DC}| = 6$. Векторы исходят из одной точки D. Угол между ними равен $\angle BDC$. Так как треугольник $BCD$ равносторонний, $\angle BDC = 60^\circ$.
$\vec{DB} \cdot \vec{DC} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(\angle BDC) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.
Ответ: 18.

6) $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$

Длины векторов $|\vec{BD}| = 6$ и $|\vec{AD}| = 6$.
Способ 1: Выразим вектор $\vec{BD}$ через векторы с общим началом в точке A, используя правило треугольника: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
$\vec{BD} \cdot \vec{AD} = (\vec{AD} - \vec{AB}) \cdot \vec{AD} = \vec{AD} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 - \vec{AB} \cdot \vec{AD}$.
Из пункта 1) мы знаем, что $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 18$.
$|\vec{AD}|^2 = 6^2 = 36$.
Таким образом, $\vec{BD} \cdot \vec{AD} = 36 - 18 = 18$.
Способ 2: Приведем векторы к общему началу в точке D. $\vec{BD} = -\vec{DB}$ и $\vec{AD} = -\vec{DA}$.
$\vec{BD} \cdot \vec{AD} = (-\vec{DB}) \cdot (-\vec{DA}) = \vec{DB} \cdot \vec{DA}$.
Угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{DA}$ равен $\angle BDA$. Так как треугольник $ABD$ равносторонний, $\angle BDA = 60^\circ$.
$\vec{DB} \cdot \vec{DA} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DA}| \cdot \cos(\angle BDA) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.
Ответ: 18.

588. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $CB = 2$ см. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$;

2) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$;

3) $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{BA}$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$ и катет $CB = 2$ см.

Сначала найдем длины всех сторон треугольника и угол $\angle B$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $CB$ лежит против угла $\angle A = 30^\circ$. Следовательно, гипотенуза $AB = 2 \cdot CB = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Найдем катет $AC$ по теореме Пифагора: $AC^2 + CB^2 = AB^2$. $AC^2 = AB^2 - CB^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$. $AC = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Итак, мы имеем длины векторов (модули): $| \vec{AC} | = AC = 2\sqrt{3}$ см, $| \vec{BC} | = | \vec{CB} | = CB = 2$ см, $| \vec{AB} | = | \vec{BA} | = AB = 4$ см.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

1) $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$

Вектор $\vec{AC}$ лежит на прямой $AC$, а вектор $\vec{BC}$ — на прямой $BC$. Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты $AC$ и $BC$ перпендикулярны ($\angle C = 90^\circ$), то угол между векторами, лежащими на этих прямых, равен $90^\circ$. Следовательно, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ ортогональны.

Скалярное произведение ортогональных векторов всегда равно нулю. $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

2) $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ имеют общее начало в точке $A$. Угол между ними равен углу $\angle A$ треугольника, то есть $30^\circ$.

$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle A) = (2\sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ)$.

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.

3) $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$, нужно привести их к общему началу. Перенесем их так, чтобы они оба начинались в точке $B$. Вектор $\vec{BA}$ уже начинается в $B$. Вектор $\vec{CB}$ направлен к точке $B$. Ему будет соответствовать вектор, начинающийся в точке $B$ и направленный в противоположную сторону от вектора $\vec{BC}$.

Угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ равен углу $\angle B = 60^\circ$. Угол между вектором $\vec{CB}$ и вектором $\vec{BA}$ будет смежным с углом $\angle B$, то есть он равен $180^\circ - \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\vec{CB} \cdot \vec{BA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{BA}| \cdot \cos(120^\circ)$.

Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем: $\vec{CB} \cdot \vec{BA} = 2 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$.

Ответ: -4.

DC; 2) AC и AB; 3) CB и BA.

589. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} (1; -2)$ и $\vec{b} (2; -3)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Для заданных векторов $\vec{a}(1; -2)$ и $\vec{b}(2; -3)$ выполним вычисления по шагам.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (числитель дроби):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \cdot 2) + ((-2) \cdot (-3)) = 2 + 6 = 8$.

2. Найдем длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (знаменатель дроби):

Длина вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Длина вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Произведение длин векторов:

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{65}$.

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{8}{\sqrt{65}}$.

При желании можно избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{65}$:

$\frac{8}{\sqrt{65}} = \frac{8\sqrt{65}}{65}$.

Ответ: $\frac{8}{\sqrt{65}}$

590. Известно, что скалярное произведение векторов является:
1) положительным числом;
2) отрицательным числом. Определите вид угла между векторами.

Для определения вида угла между векторами воспользуемся определением скалярного произведения. Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда являются положительными числами (для ненулевых векторов), знак скалярного произведения определяется знаком косинуса угла $\cos(\alpha)$ между ними. Угол между векторами может изменяться в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

1) скалярное произведение векторов является положительным числом

Если скалярное произведение положительно, это означает, что $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

Исходя из формулы, $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) > 0$. Так как $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $\cos(\alpha)$ был положительным:

$\cos(\alpha) > 0$

В диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ косинус положителен для углов $\alpha$, удовлетворяющих условию $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$. Такой угол называется острым.

Ответ: угол между векторами является острым.

2) скалярное произведение векторов является отрицательным числом

Если скалярное произведение отрицательно, это означает, что $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Исходя из формулы, $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) < 0$. Так как $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $\cos(\alpha)$ был отрицательным:

$\cos(\alpha) < 0$

В диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ косинус отрицателен для углов $\alpha$, удовлетворяющих условию $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$. Такой угол называется тупым.

Ответ: угол между векторами является тупым.

591. Найдите работу силы величиной в $6 \text{ Н}$ по перемещению тела на расстояние $7 \text{ м}$, если угол между направлениями силы и перемещения равен $60^\circ$.

Для нахождения работы, совершаемой силой, используется формула, связывающая работу, силу, перемещение и угол между ними. Работа $A$ равна произведению модуля силы $F$, модуля перемещения $s$ и косинуса угла $\alpha$ между векторами силы и перемещения.

Формула для вычисления работы:
$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

Из условия задачи нам известны следующие величины:
- Величина силы $F = 6$ Н
- Расстояние (перемещение) $s = 7$ м
- Угол между направлением силы и перемещения $\alpha = 60^\circ$

Найдем значение косинуса угла $60^\circ$. Это табличное значение:
$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$

Теперь подставим все известные значения в формулу и произведем вычисления:
$A = 6 \, \text{Н} \cdot 7 \, \text{м} \cdot 0.5$
$A = 42 \cdot 0.5$
$A = 21$ Дж

Ответ: 21 Дж.

592. В равностороннем треугольнике $ABC$, сторона которого равна 1, медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $M$. Вычислите:

1) $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}$;

2) $\vec{BM} \cdot \vec{MA_1}$.

Дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a=1$. Медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $M$.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Медианы также являются высотами и биссектрисами. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $|AA_1| = |BB_1| = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точка пересечения медиан $M$ (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

1) $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}$

Для вычисления скалярного произведения векторов разложим их по базисным векторам. В качестве базиса выберем векторы $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AB}$.

Так как треугольник равносторонний со стороной 1, то $|\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$, а угол между ними равен $60^\circ$.

Скалярное произведение базисных векторов равно:

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Выразим векторы медиан $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ через базисные векторы.

Точка $A_1$ — середина стороны $BC$. По правилу нахождения вектора медианы:

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{b})$.

Точка $B_1$ — середина стороны $AC$. Тогда $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{b}$. Вектор $\vec{BB_1}$ можно выразить как разность векторов:

$\vec{BB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$.

Теперь вычислим скалярное произведение:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = \left(\frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{b})\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}\right)$

$= \frac{1}{2} \left( (\vec{c} + \vec{b}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\vec{c}\cdot\vec{b} - \vec{c}\cdot\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{b} - \vec{b}\cdot\vec{c} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{c} - |\vec{c}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 - \vec{b}\cdot\vec{c} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{c}) - |\vec{c}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 \right)$

Подставим известные значения $|\vec{b}|=1$, $|\vec{c}|=1$ и $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$:

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1^2 + \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{4} - \frac{4}{4} + \frac{2}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{3}{4} \right) = -\frac{3}{8}$.

Ответ: $-\frac{3}{8}$.

2) $\vec{BM} \cdot \vec{MA_1}$

Точка $M$ делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что $BM = \frac{2}{3}BB_1$ и $MA_1 = \frac{1}{3}AA_1$.

Вектор $\vec{BM}$ сонаправлен с вектором $\vec{BB_1}$, поэтому $\vec{BM} = \frac{2}{3}\vec{BB_1}$.

Вектор $\vec{MA_1}$ сонаправлен с вектором $\vec{AA_1}$, поэтому $\vec{MA_1} = \frac{1}{3}\vec{AA_1}$.

Теперь вычислим скалярное произведение, используя результат из первого пункта:

$\vec{BM} \cdot \vec{MA_1} = \left(\frac{2}{3}\vec{BB_1}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\vec{AA_1}\right)$

$= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot (\vec{BB_1} \cdot \vec{AA_1})$

$= \frac{2}{9} (\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1})$

Из пункта 1) мы знаем, что $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = -\frac{3}{8}$.

$= \frac{2}{9} \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 8} = -\frac{6}{72} = -\frac{1}{12}$.

Ответ: $-\frac{1}{12}$.

593. Пусть точка O – центр правильного шестиугольника ABCDEF, сторона которого равна 1. Вычислите:

1) $\vec{BA} \cdot \vec{CD};$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CD};$

3) $\vec{AO} \cdot \vec{ED};$

4) $\vec{AC} \cdot \vec{CD}.$

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1 и центром $O$ все стороны равны 1. Расстояние от центра до любой вершины также равно 1, так как шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников ($OAB$, $OBC$ и т.д.). Таким образом, $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CD}| = |\vec{DE}| = |\vec{EF}| = |\vec{FA}| = |\vec{OA}| = |\vec{OB}| = \dots = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Углы в равносторонних треугольниках с вершиной в центре равны $60^\circ$.

1) Вычислим скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{CD}$. В правильном шестиугольнике вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BO}$. Это следует из того, что четырехугольник $BCDO$ является ромбом (все стороны $BC, CD, DO, OB$ равны 1), а стороны $CD$ и $BO$ параллельны и сонаправлены.
Следовательно, $\vec{BA} \cdot \vec{CD} = \vec{BA} \cdot \vec{BO}$.
Скалярное произведение векторов определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.
Длины векторов равны $|\vec{BA}| = 1$ и $|\vec{BO}| = 1$.
Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BO}$ — это угол $\angle ABO$. Так как треугольник $AOB$ равносторонний, $\angle ABO = 60^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{BA} \cdot \vec{BO} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BO}| \cdot \cos(\angle ABO) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Вычислим скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{CD}$. Вектор $\vec{AD}$ — это большая диагональ шестиугольника, проходящая через центр $O$. Его можно представить как $\vec{AD} = 2\vec{OD}$. Длина этого вектора $|\vec{AD}| = 2$.
Вектор $\vec{CD}$ можно выразить через векторы, выходящие из центра $O$: $\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC}$.
Тогда скалярное произведение равно:
$\vec{AD} \cdot \vec{CD} = (2\vec{OD}) \cdot (\vec{OD} - \vec{OC}) = 2\vec{OD} \cdot \vec{OD} - 2\vec{OD} \cdot \vec{OC}$.
$\vec{OD} \cdot \vec{OD} = |\vec{OD}|^2 = 1^2 = 1$.
$\vec{OD} \cdot \vec{OC} = |\vec{OD}| \cdot |\vec{OC}| \cdot \cos(\angle DOC)$. Угол между соседними радиус-векторами $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ равен $\angle DOC = 60^\circ$.
$\vec{OD} \cdot \vec{OC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Подставляем найденные значения:
$\vec{AD} \cdot \vec{CD} = 2(1) - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $1$

3) Вычислим скалярное произведение $\vec{AO} \cdot \vec{ED}$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны и равны по длине. Вектор $\vec{ED}$ равен вектору $\vec{AB}$.
Следовательно, $\vec{AO} \cdot \vec{ED} = \vec{AO} \cdot \vec{AB}$.
Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{AB}$ выходят из одной точки $A$. Угол между ними — это угол $\angle OAB$.
Треугольник $AOB$ равносторонний, поэтому $\angle OAB = 60^\circ$.
Длины векторов равны $|\vec{AO}| = 1$ и $|\vec{AB}| = 1$.
$\vec{AO} \cdot \vec{AB} = |\vec{AO}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle OAB) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Вычислим скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{CD}$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Найдем длины его сторон и угол между векторами.
Длина стороны $|\vec{CD}| = 1$.
Длина большой диагонали $|\vec{AD}| = 2$.
Длину малой диагонали $AC$ найдем по теореме косинусов для треугольника $ABC$. В этом треугольнике $AB=1$, $BC=1$, а угол $\angle ABC = 120^\circ$.
$|\vec{AC}|^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
Следовательно, $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$.
Теперь найдем угол $\angle ACD$ в треугольнике $ACD$ по теореме косинусов:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD)$
$2^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos(\angle ACD)$
$4 = 3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos(\angle ACD)$
$4 = 4 - 2\sqrt{3}\cos(\angle ACD)$
$0 = -2\sqrt{3}\cos(\angle ACD)$, откуда $\cos(\angle ACD) = 0$.
Это означает, что $\angle ACD = 90^\circ$.
Угол $\angle ACD$ — это угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CD}$. Угол $\alpha$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ является смежным с $\angle ACD$, но так как $\angle ACD=90^\circ$, то и $\alpha = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ перпендикулярны.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.
$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(90^\circ) = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$

594. При каком значении $x$ векторы $\vec{a} (3; x)$ и $\vec{b} (1; 9)$ перпендикулярны?

Два вектора являются перпендикулярными (ортогональными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Нам даны векторы $\vec{a}(3; x)$ и $\vec{b}(1; 9)$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ на плоскости вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

Применяя эту формулу к нашим векторам, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + x \cdot 9 = 3 + 9x$

Чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно равняться нулю:

$3 + 9x = 0$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$:

$9x = -3$

$x = \frac{-3}{9}$

$x = -\frac{1}{3}$

Таким образом, при $x = -1/3$ векторы $\vec{a}(3; -1/3)$ и $\vec{b}(1; 9)$ будут перпендикулярны.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

595. Известно, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Докажите, что векторы $\vec{a} (-x; y)$ и $\vec{b} (y; x)$ перпендикулярны.

Для того чтобы доказать, что два вектора перпендикулярны, необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a}(-x; y)$ и $\vec{b}(y; x)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ на плоскости вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$.

Подставим координаты наших векторов в эту формулу. Для вектора $\vec{a}$ имеем $a_1 = -x$ и $a_2 = y$. Для вектора $\vec{b}$ имеем $b_1 = y$ и $b_2 = x$.

Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-x) \cdot y + y \cdot x = -xy + yx$.

Поскольку умножение действительных чисел коммутативно (то есть $yx = xy$), мы можем упростить выражение: $-xy + xy = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно нулю, это доказывает, что они перпендикулярны. Условия $x \neq 0$ и $y \neq 0$ означают, что ни один из векторов не является нулевым вектором.

Ответ: Скалярное произведение векторов равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-x) \cdot y + y \cdot x = -xy + xy = 0$, следовательно, векторы перпендикулярны.

596. При каких значениях $x$ векторы $a(2x; -3)$ и $b(x; 6)$ перпендикулярны?

Два вектора являются перпендикулярными (ортогональными) в том и только в том случае, если их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a}$ с координатами $(2x; -3)$ и $\vec{b}$ с координатами $(x; 6)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ находится по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Для того чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были перпендикулярны, должно выполняться условие $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Подставим координаты данных векторов в это условие:

$(2x) \cdot x + (-3) \cdot 6 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x^2 - 18 = 0$

Перенесем 18 в правую часть уравнения:

$2x^2 = 18$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = \frac{18}{2}$

$x^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значения $x$:

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Таким образом, векторы перпендикулярны при значениях $x = 3$ и $x = -3$.

Ответ: -3; 3.