Страница 146 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. При каком значении x векторы $\vec{a} (2x, -3)$ и $\vec{b} (1; 4)$ перпендикулярны?

А) -6

Б) 3

В) 12

Г) 6

Два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a}(2x; -3)$ и $\vec{b}(1; 4)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Для того чтобы векторы были перпендикулярны, должно выполняться условие $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Подставим координаты данных векторов в это уравнение:
$2x \cdot 1 + (-3) \cdot 4 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $x$:
$2x - 12 = 0$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$

Следовательно, при $x = 6$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.
Ответ: 6

12. Чему равен косинус угла между векторами $a (5; -12)$ и $\vec{b} (-3; 4)$?

А) $\frac{63}{65}$

Б) $\frac{65}{63}$

В) $-\frac{63}{65}$

Г) $\frac{1}{2}$

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Даны векторы $\vec{a}(5; -12)$ и $\vec{b}(-3; 4)$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot (-3) + (-12) \cdot 4 = -15 - 48 = -63$.

2. Найдем длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Длина вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Длина вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла.

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-63}{13 \cdot 5} = -\frac{63}{65}$.

Данный результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: $-\frac{63}{65}$