Страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

615. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Известно, что $OB = OC = 1$, $OA = 2$, $OD = 3$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $DC$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в точку пересечения диагоналей O. Так как по условию диагонали AC и BD перпендикулярны, мы можем расположить их на осях координат. Пусть диагональ AC лежит на оси Oy, а диагональ BD — на оси Ox.

Определим координаты вершин четырехугольника ABCD на основе данных в условии длин отрезков:
- Точка A: $OA = 2$. Пусть $A = (0, 2)$.
- Точка C: $OC = 1$. Так как C лежит на той же оси, что и A, но по другую сторону от O, ее координаты $C = (0, -1)$.
- Точка B: $OB = 1$. Пусть $B = (1, 0)$.
- Точка D: $OD = 3$. Так как D лежит на той же оси, что и B, но по другую сторону от O, ее координаты $D = (-3, 0)$.

Угол между прямыми AB и DC можно найти, определив углы наклона этих прямых. Угловой коэффициент k прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой AB, проходящей через точки A(0, 2) и B(1, 0):
$k_{AB} = \frac{0 - 2}{1 - 0} = -2$

Найдем угловой коэффициент $k_{DC}$ прямой DC, проходящей через точки D(-3, 0) и C(0, -1):
$k_{DC} = \frac{-1 - 0}{0 - (-3)} = -\frac{1}{3}$

Тангенс острого угла $\phi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ находится по формуле:
$\tan(\phi) = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$

Подставим найденные значения $k_{AB}$ и $k_{DC}$:
$\tan(\phi) = \left|\frac{-\frac{1}{3} - (-2)}{1 + (-2) \cdot (-\frac{1}{3})}\right| = \left|\frac{-\frac{1}{3} + 2}{1 + \frac{2}{3}}\right| = \left|\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}}\right| = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

Альтернативное решение (векторный метод):
Найдем векторы, соответствующие сторонам AB и DC:
$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A\} = \{1 - 0; 0 - 2\} = \{1; -2\}$
$\vec{DC} = \{x_C - x_D; y_C - y_D\} = \{0 - (-3); -1 - 0\} = \{3; -1\}$
Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле скалярного произведения:
$\cos(\phi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) = 3 + 2 = 5$
Длины (модули) векторов:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$|\vec{DC}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
Косинус угла между векторами:
$\cos(\phi) = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Если косинус угла равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, то угол $\phi$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

616. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. Известно, что $\angle DBC = 90^\circ$, $BD = \frac{\sqrt{3}}{4}AB$. Найдите $\angle ABD$.

Введем следующие обозначения для удобства:

• Пусть $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$.
• $BD$ — медиана, следовательно, $D$ — середина $AC$ и $AD = DC = b/2$.
• По условию, $BD = \frac{\sqrt{3}}{4}AB = \frac{\sqrt{3}}{4}c$.
• По условию, $\angle DBC = 90^\circ$.
• Искомый угол $\angle ABD = \alpha$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Аполлония (формулой для длины медианы) и теоремой Пифагора.

1. Применение теоремы Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DBC$ (так как $\angle DBC = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $DC^2 = BD^2 + BC^2$.
Подставим наши обозначения: $(b/2)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{4}c)^2 + a^2$
$\frac{b^2}{4} = \frac{3}{16}c^2 + a^2$
Отсюда выразим $b^2$: $b^2 = 4 \left( \frac{3}{16}c^2 + a^2 \right) = \frac{3}{4}c^2 + 4a^2$. (1)

2. Применение теоремы Аполлония
Теорема Аполлония для треугольника $\triangle ABC$ и медианы $BD$ гласит: $AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + AD^2)$.
Подставим наши обозначения: $c^2 + a^2 = 2 \left( \left(\frac{\sqrt{3}}{4}c\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 \right)$
$c^2 + a^2 = 2 \left( \frac{3}{16}c^2 + \frac{b^2}{4} \right)$
$c^2 + a^2 = \frac{3}{8}c^2 + \frac{b^2}{2}$. (2)

3. Нахождение соотношения между сторонами $a$ и $c$
Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя переменными $a, b, c$. Подставим выражение для $b^2$ из уравнения (1) в уравнение (2): $c^2 + a^2 = \frac{3}{8}c^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{3}{4}c^2 + 4a^2 \right)$
$c^2 + a^2 = \frac{3}{8}c^2 + \frac{3}{8}c^2 + 2a^2$
$c^2 + a^2 = \frac{6}{8}c^2 + 2a^2$
$c^2 + a^2 = \frac{3}{4}c^2 + 2a^2$
Перегруппируем члены, чтобы найти соотношение между $a$ и $c$: $c^2 - \frac{3}{4}c^2 = 2a^2 - a^2$
$\frac{1}{4}c^2 = a^2$
Так как длины сторон должны быть положительными, $a = \frac{c}{2}$. Это означает, что $BC = \frac{1}{2}AB$.

4. Нахождение угла $\angle ABD$
Теперь, зная соотношение сторон, мы можем найти искомый угол $\alpha = \angle ABD$. Для этого применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle ABC$. Угол $\angle ABC$ равен сумме углов $\angle ABD$ и $\angle DBC$: $\angle ABC = \alpha + 90^\circ$.
По теореме косинусов для $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cdot \cos(\alpha + 90^\circ)$.
Используя формулу приведения $\cos(\alpha + 90^\circ) = -\sin(\alpha)$, получаем: $b^2 = c^2 + a^2 + 2ca \cdot \sin(\alpha)$.
Подставим $a = c/2$: $b^2 = c^2 + (\frac{c}{2})^2 + 2c(\frac{c}{2}) \sin(\alpha) = c^2 + \frac{c^2}{4} + c^2 \sin(\alpha) = \frac{5}{4}c^2 + c^2 \sin(\alpha)$. (3)

У нас также есть выражение для $b^2$ из уравнения (1). Подставим в него $a = c/2$: $b^2 = \frac{3}{4}c^2 + 4a^2 = \frac{3}{4}c^2 + 4(\frac{c}{2})^2 = \frac{3}{4}c^2 + 4(\frac{c^2}{4}) = \frac{3}{4}c^2 + c^2 = \frac{7}{4}c^2$. (4)

Приравняем выражения для $b^2$ из уравнений (3) и (4): $\frac{7}{4}c^2 = \frac{5}{4}c^2 + c^2 \sin(\alpha)$.
Разделим обе части на $c^2$ (поскольку $c \neq 0$): $\frac{7}{4} = \frac{5}{4} + \sin(\alpha)$
$\sin(\alpha) = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Уравнение $\sin(\alpha) = 1/2$ для угла в треугольнике имеет два возможных решения: $\alpha = 30^\circ$ или $\alpha = 150^\circ$. Однако, если $\alpha = 150^\circ$, то $\angle ABC = \alpha + 90^\circ = 150^\circ + 90^\circ = 240^\circ$, что больше $180^\circ$ и не может быть углом треугольника. Следовательно, единственное подходящее решение — это $\alpha = 30^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 30^\circ$.

617. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены квадраты $ABMN$ и $BCKF$. Докажите, что медиана $BD$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой $MF$.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Поместим начало координат в точку $B$. Обозначим векторы $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$.

Так как $BD$ — медиана треугольника $ABC$, точка $D$ является серединой стороны $AC$. Вектор медианы $\vec{BD}$ можно выразить как полусумму векторов, исходящих из той же вершины к концам стороны, на которую она опущена:

$\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$

Теперь найдем вектор $\vec{MF}$. Для этого выразим его через векторы, связанные с точкой $B$: $\vec{MF} = \vec{BF} - \vec{BM}$.

Рассмотрим квадрат $ABMN$, построенный на стороне $AB$. Вершины $A, B, M, N$ перечислены в порядке обхода. Это означает, что стороны квадрата — это $AB$, $BM$, $MN$ и $NA$. Вектор $\vec{BM}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$ и равен ему по длине. Квадрат построен во внешнюю сторону, поэтому, если мы обходим треугольник $ABC$ против часовой стрелки, то обход квадрата $A-B-M-N$ должен быть по часовой стрелке (чтобы он был "снаружи"). Это означает, что вектор $\vec{BM}$ получается из вектора $\vec{AB}$ поворотом на $-90^{\circ}$ (по часовой стрелке).

Обозначим оператор поворота на $-90^{\circ}$ как $R_{-90}$. Тогда:

$\vec{BM} = R_{-90}(\vec{AB})$

Так как $\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$, получаем:

$\vec{BM} = R_{-90}(-\vec{a}) = -R_{-90}(\vec{a})$

Теперь рассмотрим квадрат $BCKF$, построенный на стороне $BC$. Вершины $B, C, K, F$ перечислены в порядке обхода. Стороны квадрата — это $BC$, $CK$, $KF$ и $FB$. Вектор $\vec{CK}$ перпендикулярен вектору $\vec{BC}$ и равен ему по длине. Так как квадрат внешний, вектор $\vec{CK}$ получается из вектора $\vec{BC}$ поворотом на $-90^{\circ}$:

$\vec{CK} = R_{-90}(\vec{BC}) = R_{-90}(\vec{c})$

В квадрате $BCKF$ вектор, соединяющий первую вершину с четвертой ($\vec{BF}$), равен вектору, соединяющему вторую вершину с третьей ($\vec{CK}$). Таким образом, $\vec{BF} = \vec{CK}$.

$\vec{BF} = R_{-90}(\vec{c})$

Теперь мы можем найти вектор $\vec{MF}$:

$\vec{MF} = \vec{BF} - \vec{BM} = R_{-90}(\vec{c}) - (-R_{-90}(\vec{a})) = R_{-90}(\vec{c}) + R_{-90}(\vec{a})$

Поскольку поворот является линейной операцией, мы можем записать:

$\vec{MF} = R_{-90}(\vec{a} + \vec{c})$

Для того чтобы доказать, что медиана $BD$ перпендикулярна прямой $MF$, нужно показать, что скалярное произведение векторов $\vec{BD}$ и $\vec{MF}$ равно нулю.

$\vec{BD} \cdot \vec{MF} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) \cdot R_{-90}(\vec{a} + \vec{c})$

Пусть $\vec{v} = \vec{a} + \vec{c}$. Тогда скалярное произведение принимает вид:

$\frac{1}{2}\vec{v} \cdot R_{-90}(\vec{v})$

Скалярное произведение любого ненулевого вектора на вектор, полученный из него поворотом на $90^{\circ}$ (в любую сторону), всегда равно нулю. Это следует из определения скалярного произведения: $|\vec{v}| \cdot |R_{-90}(\vec{v})| \cdot \cos(90^{\circ}) = |\vec{v}|^2 \cdot 0 = 0$.

Следовательно, $\vec{BD} \cdot \vec{MF} = 0$, что означает, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{MF}$ перпендикулярны. Таким образом, медиана $BD$ перпендикулярна прямой $MF$.

Ответ: Доказано, что медиана $BD$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой $MF$.

618. Точка $M$ – середина диагонали $AC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ (рис. 145). Докажите, что четырёхугольники $ABMD$ и $CBMD$ равновелики.

618.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точка $M$ – середина диагонали $AC$, следовательно, отрезки $AM$ и $MC$ равны: $AM = MC$.

Площадь четырехугольника $ABMD$ можно представить как сумму площадей двух треугольников, на которые его делит диагональ $BM$: $S_{ABMD} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle ADM}$.

Площадь четырехугольника $CBMD$ можно представить как сумму площадей треугольников $CBM$ и $CDM$: $S_{CBMD} = S_{\triangle CBM} + S_{\triangle CDM}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $BM$ является его медианой, так как соединяет вершину $B$ с серединой противолежащей стороны $AC$. Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. Это происходит потому, что треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ имеют равные основания ($AM = MC$) и общую высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC$. Таким образом, их площади равны: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $DM$ является медианой. Следовательно, он делит этот треугольник на два равновеликих треугольника $\triangle ADM$ и $\triangle CDM$, так как у них также равные основания ($AM = MC$) и общая высота, опущенная из вершины $D$ на прямую $AC$. Таким образом, $S_{\triangle ADM} = S_{\triangle CDM}$.

Теперь сравним площади четырехугольников $ABMD$ и $CBMD$:
$S_{ABMD} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle ADM}$
$S_{CBMD} = S_{\triangle CBM} + S_{\triangle CDM}$

Так как мы доказали, что $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$ и $S_{\triangle ADM} = S_{\triangle CDM}$, то и суммы этих площадей равны: $S_{ABMD} = S_{CBMD}$.

Следовательно, четырехугольники $ABMD$ и $CBMD$ равновелики.

Ответ: Четырехугольники $ABMD$ и $CBMD$ равновелики, что и требовалось доказать.

619.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$.

Высота ромба $h$ равна удвоенной длине перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к стороне: $h = 2 \cdot OH$.

По условию задачи, высота ромба $h = 24$ см. Отсюда находим длину $OH$:
$OH = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Перпендикуляр $OH$ делит сторону ромба $AB$ на два отрезка: $AH$ и $HB$. По условию, один из них на 7 см больше другого. Обозначим длину меньшего отрезка $AH$ как $x$ см. Тогда длина большего отрезка $HB$ будет $x + 7$ см.

Длина стороны ромба $AB$ равна сумме длин этих отрезков: $AB = AH + HB = x + (x + 7) = 2x + 7$ см.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. В этом треугольнике $OH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $OH^2 = AH \cdot HB$.

Подставим известные значения и составим уравнение:
$12^2 = x \cdot (x + 7)$
$144 = x^2 + 7x$
$x^2 + 7x - 144 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625 = 25^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как $x$ представляет собой длину отрезка, она не может быть отрицательной. Поэтому выбираем корень $x = 9$.
Следовательно, $AH = 9$ см, а $HB = 9 + 7 = 16$ см.

Найдем длину стороны ромба:
$AB = AH + HB = 9 + 16 = 25$ см.

Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина стороны.
$P = 4 \cdot 25 = 100$ см.

Ответ: 100 см.

619. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба, делит его сторону на отрезки, один из которых на 7 см больше другого. Найдите периметр ромба, если его высота равна 24 см.

Пусть дан ромб $ABCD$, $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне $AB$. По условию, точка $K$ делит сторону $AB$ на два отрезка. Обозначим их как $AK$ и $KB$. Пусть $KB = x$ см, тогда $AK = x + 7$ см. Высота ромба $h = 24$ см.

1. Найдём длину перпендикуляра $OK$. Точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех его сторон. Высота ромба — это расстояние между его параллельными сторонами (например, $AB$ и $CD$). Точка $O$ находится посередине между этими сторонами. Следовательно, длина перпендикуляра, проведённого из точки $O$ к стороне, равна половине высоты ромба:

$OK = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

2. Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным. $OK$ — это высота, проведённая из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. В нашем случае:

$OK^2 = AK \cdot KB$

Подставим известные значения:

$12^2 = (x + 7) \cdot x$

$144 = x^2 + 7x$

$x^2 + 7x - 144 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

$x_2 = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 9$.

Итак, $KB = 9$ см, а $AK = 9 + 7 = 16$ см.

3. Найдём длину стороны ромба $a$:

$a = AB = AK + KB = 16 + 9 = 25$ см.

4. Найдём периметр ромба $P$. У ромба все стороны равны, поэтому:

$P = 4a = 4 \cdot 25 = 100$ см.

Ответ: 100 см.

620. На высоте правильного треугольника со стороной $6\sqrt{3}$ см как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, расположенной вне треугольника.

1. Найдем высоту правильного треугольника. Пусть сторона треугольника $a = 6\sqrt{3}$ см. Высота $h$ правильного треугольника вычисляется по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a$:

$h = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

2. По условию, высота является диаметром окружности. Следовательно, диаметр окружности $d = h = 9$ см, а ее радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ см. Центр окружности $O$ — середина высоты.

3. Пусть треугольник называется $ABC$, а высота, проведенная из вершины $B$, — это $BH$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Дуга, расположенная вне треугольника, это дуга, соединяющая точки $D$ и $E$ и проходящая через вершину $B$. Для нахождения ее длины необходимо найти соответствующий ей центральный угол.

4. В правильном треугольнике все углы равны $60^\circ$. Высота $BH$ также является биссектрисой, поэтому угол $\angle ABH = \angle CBH = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

5. Точка $D$ лежит на окружности, а $BH$ — ее диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle BDH = 90^\circ$. Треугольник $BHD$ — прямоугольный. В этом треугольнике катет $HD$ лежит против угла $\angle DBH = 30^\circ$. Следовательно, длина $HD$ равна половине гипотенузы $BH$:

$HD = BH \cdot \sin(30^\circ) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$ см.

Аналогично для точки $E$: треугольник $BHE$ прямоугольный, и $HE = BH \cdot \sin(30^\circ) = 4.5$ см.

6. Рассмотрим треугольник $ODH$, где $O$ — центр окружности. Отрезки $OD$ и $OH$ являются радиусами окружности, поэтому $OD = OH = r = 4.5$ см. Мы также нашли, что $HD = 4.5$ см. Таким образом, все стороны треугольника $ODH$ равны, он является равносторонним, и угол $\angle DOH = 60^\circ$.

Аналогично, треугольник $OEH$ также является равносторонним ($OE = OH = HE = 4.5$ см), и угол $\angle EOH = 60^\circ$.

7. Центральный угол, соответствующий дуге $DHE$, которая находится внутри треугольника, равен сумме углов $\angle DOH$ и $\angle EOH$:

$\angle DOE = \angle DOH + \angle EOH = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Дуга, расположенная вне треугольника, является дополнением дуги $DHE$ до полной окружности. Ее градусная мера равна:

$360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

8. Найдем длину этой дуги ($L$) по формуле длины дуги окружности $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$, где $\alpha$ — градусная мера дуги:

$L = \frac{240}{360} \cdot 2\pi \cdot 4.5 = \frac{2}{3} \cdot 9\pi = 6\pi$ см.

Ответ: $6\pi$ см.