Номер 617, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

617. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены квадраты $ABMN$ и $BCKF$. Докажите, что медиана $BD$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой $MF$.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Поместим начало координат в точку $B$. Обозначим векторы $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$.

Так как $BD$ — медиана треугольника $ABC$, точка $D$ является серединой стороны $AC$. Вектор медианы $\vec{BD}$ можно выразить как полусумму векторов, исходящих из той же вершины к концам стороны, на которую она опущена:

$\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$

Теперь найдем вектор $\vec{MF}$. Для этого выразим его через векторы, связанные с точкой $B$: $\vec{MF} = \vec{BF} - \vec{BM}$.

Рассмотрим квадрат $ABMN$, построенный на стороне $AB$. Вершины $A, B, M, N$ перечислены в порядке обхода. Это означает, что стороны квадрата — это $AB$, $BM$, $MN$ и $NA$. Вектор $\vec{BM}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$ и равен ему по длине. Квадрат построен во внешнюю сторону, поэтому, если мы обходим треугольник $ABC$ против часовой стрелки, то обход квадрата $A-B-M-N$ должен быть по часовой стрелке (чтобы он был "снаружи"). Это означает, что вектор $\vec{BM}$ получается из вектора $\vec{AB}$ поворотом на $-90^{\circ}$ (по часовой стрелке).

Обозначим оператор поворота на $-90^{\circ}$ как $R_{-90}$. Тогда:

$\vec{BM} = R_{-90}(\vec{AB})$

Так как $\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$, получаем:

$\vec{BM} = R_{-90}(-\vec{a}) = -R_{-90}(\vec{a})$

Теперь рассмотрим квадрат $BCKF$, построенный на стороне $BC$. Вершины $B, C, K, F$ перечислены в порядке обхода. Стороны квадрата — это $BC$, $CK$, $KF$ и $FB$. Вектор $\vec{CK}$ перпендикулярен вектору $\vec{BC}$ и равен ему по длине. Так как квадрат внешний, вектор $\vec{CK}$ получается из вектора $\vec{BC}$ поворотом на $-90^{\circ}$:

$\vec{CK} = R_{-90}(\vec{BC}) = R_{-90}(\vec{c})$

В квадрате $BCKF$ вектор, соединяющий первую вершину с четвертой ($\vec{BF}$), равен вектору, соединяющему вторую вершину с третьей ($\vec{CK}$). Таким образом, $\vec{BF} = \vec{CK}$.

$\vec{BF} = R_{-90}(\vec{c})$

Теперь мы можем найти вектор $\vec{MF}$:

$\vec{MF} = \vec{BF} - \vec{BM} = R_{-90}(\vec{c}) - (-R_{-90}(\vec{a})) = R_{-90}(\vec{c}) + R_{-90}(\vec{a})$

Поскольку поворот является линейной операцией, мы можем записать:

$\vec{MF} = R_{-90}(\vec{a} + \vec{c})$

Для того чтобы доказать, что медиана $BD$ перпендикулярна прямой $MF$, нужно показать, что скалярное произведение векторов $\vec{BD}$ и $\vec{MF}$ равно нулю.

$\vec{BD} \cdot \vec{MF} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) \cdot R_{-90}(\vec{a} + \vec{c})$

Пусть $\vec{v} = \vec{a} + \vec{c}$. Тогда скалярное произведение принимает вид:

$\frac{1}{2}\vec{v} \cdot R_{-90}(\vec{v})$

Скалярное произведение любого ненулевого вектора на вектор, полученный из него поворотом на $90^{\circ}$ (в любую сторону), всегда равно нулю. Это следует из определения скалярного произведения: $|\vec{v}| \cdot |R_{-90}(\vec{v})| \cdot \cos(90^{\circ}) = |\vec{v}|^2 \cdot 0 = 0$.

Следовательно, $\vec{BD} \cdot \vec{MF} = 0$, что означает, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{MF}$ перпендикулярны. Таким образом, медиана $BD$ перпендикулярна прямой $MF$.

Ответ: Доказано, что медиана $BD$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой $MF$.