Номер 613, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

613. Найдите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})=\frac{3}{2}$, $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=1$.

Чтобы найти угол между векторами, сначала найдем их скалярное произведение, используя данные из условия.

Раскроем скобки в левой части равенства, используя свойства скалярного произведения векторов (дистрибутивность и коммутативность):

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot 2\vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot 2\vec{b}$

Учитывая, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$) и скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), упростим выражение:

$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2$

По условию $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = \frac{3}{2}$, а также $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$1^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 \cdot 1^2 = \frac{3}{2}$

$1 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 = \frac{3}{2}$

$3 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2}$

Теперь выразим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} - 3$

$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} - \frac{6}{2}$

$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -\frac{3}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$

Скалярное произведение векторов также определяется через косинус угла $\alpha$ между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$

Выразим косинус угла и подставим известные значения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-1/2}{1 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Найдём угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$. В диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ это угол $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$