Номер 610, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

610. Докажите, что для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется неравенство $-|\vec{a}||\vec{b}| \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}||\vec{b}|.$

Для доказательства данного неравенства воспользуемся определением скалярного произведения векторов и свойствами функции косинуса. Разобьем доказательство на два случая.

Случай 1: Хотя бы один из векторов является нулевым.
Если вектор $\vec{a}$ или вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором (т.е. $\vec{a} = \vec{0}$ или $\vec{b} = \vec{0}$), то его длина (модуль) равна нулю. То есть, $|\vec{a}| = 0$ или $|\vec{b}| = 0$.
В этом случае произведение длин $|\vec{a}||\vec{b}|$ равно нулю.
Скалярное произведение вектора на нулевой вектор также по определению равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Подставим эти значения в доказываемое неравенство:
$-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$
$-0 \le 0 \le 0$
Это неравенство является верным.

Случай 2: Оба вектора ненулевые.
Если оба вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то их скалярное произведение определяется через косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$
где $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$ — это длины векторов, а $\theta$ — угол между ними, причем $0 \le \theta \le \pi$.
Для любого угла $\theta$ значение его косинуса находится в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \cos(\theta) \le 1$
Так как длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ являются положительными числами, их произведение $|\vec{a}||\vec{b}|$ также положительно. Мы можем умножить все части двойного неравенства для косинуса на это положительное число, при этом знаки неравенства сохранятся:
$(-1) \cdot |\vec{a}||\vec{b}| \le \cos(\theta) \cdot |\vec{a}||\vec{b}| \le (1) \cdot |\vec{a}||\vec{b}|$
Упростив, получаем:
$-|\vec{a}||\vec{b}| \le |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta) \le |\vec{a}||\vec{b}|$
Теперь заменим среднюю часть этого неравенства, $|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$, на равное ему скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$
Это и есть доказываемое неравенство.

Поскольку мы рассмотрели все возможные случаи (когда один из векторов нулевой и когда оба ненулевые), мы можем заключить, что неравенство выполняется для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.