Номер 605, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

605. Известно, что $\left|\vec{m}\right| = 1$, $\left|\vec{n}\right| = 2$, $\angle\left(\vec{m}, \vec{n}\right) = 60^\circ$. Найдите $\left|2\vec{m} - 3\vec{n}\right|$.

Для того чтобы найти модуль вектора $|2\vec{m} - 3\vec{n}|$, мы воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$.

Возведем искомый модуль в квадрат:
$|2\vec{m} - 3\vec{n}|^2 = (2\vec{m} - 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} - 3\vec{n})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:
$(2\vec{m} - 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} - 3\vec{n}) = (2\vec{m}) \cdot (2\vec{m}) - 2 \cdot (2\vec{m} \cdot 3\vec{n}) + (3\vec{n}) \cdot (3\vec{n})$
$= 4(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 12(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Теперь заменим скалярные квадраты векторов на квадраты их модулей ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), а скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ выразим через их модули и косинус угла между ними: $\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|\cos(\angle(\vec{m}, \vec{n}))$.
Выражение примет вид:
$|2\vec{m} - 3\vec{n}|^2 = 4|\vec{m}|^2 - 12|\vec{m}||\vec{n}|\cos(\angle(\vec{m}, \vec{n})) + 9|\vec{n}|^2$

Согласно условию задачи, имеем:
$|\vec{m}| = 1$
$|\vec{n}| = 2$
$\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 60^\circ$, следовательно $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в полученную формулу:
$|2\vec{m} - 3\vec{n}|^2 = 4 \cdot 1^2 - 12 \cdot (1 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ)) + 9 \cdot 2^2$
$= 4 \cdot 1 - 12 \cdot (2 \cdot \frac{1}{2}) + 9 \cdot 4$
$= 4 - 12 \cdot 1 + 36$
$= 4 - 12 + 36 = 28$.

Мы нашли квадрат модуля искомого вектора. Чтобы найти сам модуль, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$|2\vec{m} - 3\vec{n}| = \sqrt{28}$

Упростим корень:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4}\sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.

Ответ: $2\sqrt{7}$.