Номер 608, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

608. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами $A (1; 6)$, $B (-2; 3)$, $C (2; -1)$.

Для нахождения косинусов углов треугольника с заданными вершинами, мы можем использовать векторы и их скалярное произведение. Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ - скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ - их длины (модули).

Даны вершины треугольника: $A(1; 6)$, $B(-2; 3)$, $C(2; -1)$.

Косинус угла A

Угол A образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

1. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-2 - 1; 3 - 6) = (-3; -3)$

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (2 - 1; -1 - 6) = (1; -7)$

2. Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

3. Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18$

4. Вычислим косинус угла A:

$\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\cos(A) = \frac{3}{5}$

Косинус угла B

Угол B образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

1. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (1 - (-2); 6 - 3) = (3; 3)$

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (2 - (-2); -1 - 3) = (4; -4)$

2. Найдем длины векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

3. Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 - 12 = 0$

4. Вычислим косинус угла B:

$\cos(B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{0}{3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = 0$

Ответ: $\cos(B) = 0$

Косинус угла C

Угол C образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

1. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (1 - 2; 6 - (-1)) = (-1; 7)$

$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (-2 - 2; 3 - (-1)) = (-4; 4)$

2. Найдем длины векторов:

$|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$|\vec{CB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

3. Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) \cdot (-4) + 7 \cdot 4 = 4 + 28 = 32$

4. Вычислим косинус угла C:

$\cos(C) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{32}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{32}{20 \cdot 2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\cos(C) = \frac{4}{5}$