Номер 603, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

603. Найдите скалярное произведение $ (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}), $ если $ |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, $
$ \angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ. $

Для нахождения скалярного произведения $(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})$ раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

$(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}\cdot\vec{a} - 2\vec{b}\cdot\vec{b}$

Используя коммутативное свойство скалярного произведения ($\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$), мы можем сгруппировать подобные члены:

$\vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}\cdot\vec{b}$

Теперь воспользуемся определениями скалярного произведения:

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{x}\cdot\vec{x} = |\vec{x}|^2$.
• Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними: $\vec{x}\cdot\vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos(\angle(\vec{x}, \vec{y}))$.

Применив эти определения к нашему выражению, получим:

$|\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) - 2|\vec{b}|^2$

Подставим в это выражение данные из условия задачи: $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$ и $\angle(\vec{a}, \vec{b})=120^\circ$.

Значение косинуса угла $120^\circ$ равно:

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

Теперь выполним подстановку и произведем вычисления:

$1^2 - (1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2})) - 2 \cdot 1^2 = 1 - (-\frac{1}{2}) - 2 = 1 + \frac{1}{2} - 2 = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.