Номер 602, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

602. Известно, что $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$. Найдите скалярное произведение $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$.

Для решения данной задачи необходимо найти значение скалярного произведения $(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$. Мы будем использовать свойства скалярного произведения векторов.

Сначала раскроем скобки, используя дистрибутивный закон скалярного произведения:
$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = (2\vec{a}) \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Используя свойство вынесения скаляра за знак скалярного произведения и свойство скалярного квадрата вектора ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$), получаем:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2$

Теперь нам нужно вычислить значение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$. По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим известные из условия значения: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$ и $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.
Значение косинуса угла $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 6 \cdot \frac{2}{2} = 6$

Далее вычислим квадрат модуля вектора $\vec{b}$:
$|\vec{b}|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

Наконец, подставим вычисленные значения $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ и $|\vec{b}|^2 = 8$ в полученное ранее выражение:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 2 \cdot 6 - 8 = 12 - 8 = 4$

Ответ: 4