Номер 604, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

604. Известно, что $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ$. Найдите $|2\vec{a} + 5\vec{b}|.$

Для нахождения модуля вектора $|2\vec{a} + 5\vec{b}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения векторов, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Возведем модуль искомого вектора в квадрат:

$|2\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = (2\vec{a} + 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 5\vec{b})$

Раскроем скобки, используя распределительный закон для скалярного произведения:

$(2\vec{a} + 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 5\vec{b}) = (2\vec{a}) \cdot (2\vec{a}) + (2\vec{a}) \cdot (5\vec{b}) + (5\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) + (5\vec{b}) \cdot (5\vec{b})$

$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 25(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Поскольку скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), выражение можно упростить:

$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 20(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 25(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Теперь используем определения скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим их в наше выражение:

$|2\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 20|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) + 25|\vec{b}|^2$

Подставим известные значения из условия задачи: $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^{\circ}$.

Найдем значение косинуса угла:

$\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь проведем вычисления:

$|2\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = 4(\sqrt{3})^2 + 20(\sqrt{3})(1)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 25(1)^2$

$= 4 \cdot 3 - \frac{20 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} + 25 \cdot 1$

$= 12 - \frac{20 \cdot 3}{2} + 25$

$= 12 - 30 + 25$

$= 7$

Мы нашли квадрат модуля вектора. Чтобы найти сам модуль, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|2\vec{a} + 5\vec{b}| = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$