Номер 606, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

606. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (3; -2)$, $B (4; 0)$, $C (2; 1)$, $D (1; -1)$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, достаточно проверить два условия:
1. Что этот четырехугольник является параллелограммом.
2. Что диагонали этого параллелограмма равны.

1. Проверим, является ли ABCD параллелограммом.
Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Для этого найдем координаты середин диагоналей AC и BD.
Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_O = \frac{x_1+x_2}{2}$, $y_O = \frac{y_1+y_2}{2}$

Найдем середину диагонали AC, где A(3; -2) и C(2; 1):
$x_{AC} = \frac{3+2}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
$y_{AC} = \frac{-2+1}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5$
Координаты середины AC: (2.5; -0.5).

Найдем середину диагонали BD, где B(4; 0) и D(1; -1):
$x_{BD} = \frac{4+1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$
$y_{BD} = \frac{0+(-1)}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5$
Координаты середины BD: (2.5; -0.5).

Так как координаты середин диагоналей AC и BD совпадают, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Проверим, равны ли диагонали параллелограмма ABCD.
Длина отрезка (расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
Чтобы избежать работы с корнями, сравним квадраты длин диагоналей AC и BD.

Найдем квадрат длины диагонали AC:
$AC^2 = (x_C-x_A)^2 + (y_C-y_A)^2 = (2-3)^2 + (1-(-2))^2 = (-1)^2 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$

Найдем квадрат длины диагонали BD:
$BD^2 = (x_D-x_B)^2 + (y_D-y_B)^2 = (1-4)^2 + (-1-0)^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$

Так как $AC^2 = BD^2 = 10$, то длины диагоналей равны: $AC = BD$.

Поскольку ABCD является параллелограммом с равными диагоналями, по свойству прямоугольника, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.